nilpotent et ordre.
Bonjour.
J'ai une question qui me taraude à propos des nilpotents dans l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .
Si je prends un élément d'ordre $k$ dans le groupe des inversibles $\mathbb{Z}^{*}/n\mathbb{Z}$ peut-on dire qu'il est nilpotent d'indice $k$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ? Je pense que oui d'après les définitions.
Merci
J'ai une question qui me taraude à propos des nilpotents dans l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ .
Si je prends un élément d'ordre $k$ dans le groupe des inversibles $\mathbb{Z}^{*}/n\mathbb{Z}$ peut-on dire qu'il est nilpotent d'indice $k$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ? Je pense que oui d'après les définitions.
Merci
Réponses
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Attention à ne pas confondre les deux lois qui vivent en harmonie dans l'anneau $\mathbb Z/n \mathbb Z$. Si tu prends un élément nilpotent de cet anneau, il s'agit d'un élément $x$ tel que $x^k=0$ pour un certain $k$, tandis qu'un élément d'ordre $k$ du groupe multiplicatif $\mathbb Z/n \mathbb Z^{\times}$ vérifie $x^k=1$ !
Il y a une caractérisation facile des nilpotents de $\mathbb Z/n \mathbb Z$ en terme des facteurs premiers de $n$. -
Non, dire que $x$ est nilpotent signifierait qu'il existe un $p$ tel que $x^p = 0$, alors que dire que $x$ est d'ordre $k$ signifie que $x^k = 1$ (et $x^i \neq 1$ pour $i<k$).
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Au passage, dans un anneau un élément inversible (pour la loi multiplicative) ne peut pas être nilpotent (pour la loi multiplicative) :
Si $a^n = 0$, et $a$ inversible, alors on a :
$1 = a^n (a^{-1})^n = 0 (a^{-1})^n = 0$ -
Bien vu Poirot je n'ai pas fait gaffe au neutre pour les deux lois.
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Bonjour!
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