Somme des inverses carrés - Démo géométrique

Eclairant ;-)

Je ne connaissais pas, et je trouve l'explication excellente !

Enchanté je suis.

Pour ce qui est de l'Anglais, c'est bien raconté.

Au passage, je me demande s'il existe des outils de sous-titreraient en direct des vidéos.

Il y a des phares, c'est quoi un phare en géométrie ?
Très joli quand même.

S

Je viens de regarder la vidéo, c'est très joli et je pense très peu connu. Il y a un léger mensonge, dans le fait que l'on obtient géométriquement non pas $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$ mais $$\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}.$$ Et il y a également quelques points un peu cachés sous le tapis, mais on ne va pas se plaindre auprès d'une chaîne de vulgarisation ;-)

Le passage à la limite tel qu'il est présenté dans la vidéo (aux alentours de 14 minutes et 13 secondes) n'est pas très honnête, en effet. Si l'on clique sur le lien donnant des détails sur la vidéo, l'auteur en parle brièvement et renvoie à l'article de Johan Wästlund à l'origine de la démonstration.

Il faut quand-même réaliser que tant que l'on calcule avec $N$ phares équirépartis sur un cercle (c.-à-d. avant le « passage à la limite », autrement dit ce qui est noté $f_N(x)$ dans l'article de Wästlund), on somme des termes de la forme $1/{d_i}^2$ où chaque $d_i$ est la distance entre le point d'observation (« en bas ») et le phare numéro $i$, distance qui est donc une longueur de corde. Donc quel que soit $N$, on a dans notre somme des termes de la forme $1/{d_i}^2$ où $d_i$ est fort différent de la longueur du petit arc contenant le point d'observation et le phare $i$ (pour un phare diamétralement opposé au point d'observation, le rapport entre $d_i$ et la longueur de l'arc correspondant serait $2/\pi$). De plus, la vidéo se focalise sur une petite zone près du point d'observation où les cercles de plus en plus grands s'écrasent gentiment sur leur tangente au point d'observation, mais il ne faut pas oublier qu'il y a des phares un peu partout sur le cercle, y compris « en haut », donc on est loin d'avoir tous les phares qui viennent « se coucher » sur la droite au fur et à mesure des itérations. Il en résulte que pour affirmer honnêtement que la situation sur la droite avec une infinité de phares est la limite quand $N$ tend vers $+\infty$ de la situation sur un cercle de longueur $N$ avec $N$ phares, il faut quand-même donner quelques arguments.

La partie Asymptotical solution page 8 de l'article de Johan Wästlund explique un peu mieux comment passer des cercles à la droite.

supp

Bonjour,

Que se passe-t-il si l'on applique la démonstration présentée par rebellin à $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$ ,dont les racines sont les $n\pi, n \geq1$, avec $$f(x)=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...$$

Facile ! Les racines sont les $n\pi,$ avec cette fois $n\in\mathbb{Z}^*,$ et
\[\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}^*}\frac{1}{n\pi}=0,\] puisque les termes s'annulent deux à deux ;-). On retrouve bien $-\frac{a_1}{a_0}=0.$
Amoureux de la rigueur, bienvenue !