les entiers et les fractionnaires

Premièrement, Villani n'a jamais dit qu'il y avait autant de rationnels que d'entiers sur l'intervalle $[0,2]$.

Deuxièmement, quelle est ta définition de "autant de" quand il y a une infinité d'éléments ? Toute la subtilité vient de là.

Et pour le voir encore mieux : lire la table de 1 et lire la table de 10... il y a "autant" de nombres dans l'une et dans l'autre. mais pas sur un intervalle donné.

Une version à peu près équivalente de ce résultat est qu'il y a autant
d'entiers $n\ge1$ que
de couples $(p,q)$ d'entiers.

Une façon de voir ça est de remarquer que tout entier $n \ge 1$
s'écrit de façon unique
sous la forme
$n = \text{impair} \times \text{puissance de }2$,
soit :
$n = (2p+1) \times 2^{q}$.

À chaque $n\ge1$, on associe ainsi un couple d'entiers $(p,q)$.
Tous les couples $(p,q)$ peuvent être obtenus de cette façon.
Chaque couple $(p,q)$ n'est associé qu'à un seul $n \ge 1$.

Pourquoi tout le monde s'énerve, comme ça, au lieu de répondre, tout simplement ?!

Bon. On parle d'ensemble dénombrables. Voici le lien Wikipedia.

L'ensemble des inverses d'entiers $\{\frac{1}{n}, n \in \N^*\}$ est dénombrable.
L'ensemble des entiers $\N$ aussi.
Donc il y a "autant" d'élements dans l'un que dans l'autre.

Ça ne signifie évidemment pas qu'il y ait autant d'éléments dans l'un ou dans l'autre qui soient entre 0 et 1 ; car on ne parle alors plus des mêmes ensembles.

Tout ça est limpide.

Je pense que le résultat, plus significatif, auquel ce député faisait allusion, est que l'ensemble $\Q$ des rationnels ($\frac{a}{b}$, $a,b$ entiers) est lui aussi dénombrable.
C'est un peu plus surprenant, mais vrai néanmoins.
C'est en gros du niveau L1, accessible aux bons élèves de terminale.

Bonjour kadmathnet,

kadmathnet a écrit:

Pour les autres réponses je ne vois pas pourquoi il y a autant d'entiers que de pairs!

Il faut dire que je n'ai jamais étudié ces choses.

Il serait opportun que tu nous dises ton niveau (scolaire) en mathématiques, ça faciliterait les réponses.

Sans entrer dans le formalisme, on peut dire que deux ensembles $A$ et $B$ ont le même nombre d'éléments si à tout élément de $A$ on peut associer un unique élément de $B$ et inversement (on parle de bijection entre les ensembles $A$ et $B$).
Intuitivement, pour les ensembles finis : si j'ai un panier $A$ de pommes et un panier $B$ d'abricots, pour savoir quel panier possède le plus de fruits sans les compter, je peux procéder ainsi : j'enlève en même temps une pomme du panier $A$ et un abricot du panier $B$. Lorsque l'un des paniers est vide, je m'arrête. Si c'est le panier $A$, il y a plus d'abricots. Si c'est le panier $B$, il y a plus de pommes. Si les deux sont vides en même temps, il y a autant de pommes que d'abricots.

Autre exemple (avec les ensembles finis) : $A = \left\{ 0,7,22, \pi \right\}$ et $B= \left\{ a,b,42, \lambda \right\}$ ont le même nombre d'éléments puisqu'on peut faire les associations suivantes :
$0 \mapsto 42$
$7 \mapsto b$
$22 \mapsto \lambda$
$\pi \mapsto a$
Ce n'est évidemment pas la seule façon de faire mais il est clair qu'on a bien associé chaque élément de $A$ à un unique élément de $B$ et inversement.

Cette façon "naturelle" de faire pour les ensembles finis se généralise aux ensembles infinis, ce qui permet de parler de "même nombre d'éléments" pour des ensembles infinis.
Prenons l'exemple donné par Magnéthorax et "montrons" qu'il y a autant d'entiers naturels que d'entiers naturels pairs. Pour cela, on fait l'association suivante :
on associe tout nombre entier à son double :
$0 \mapsto 0$
$1 \mapsto 2$
$2 \mapsto 4$
$3 \mapsto 6$
...
$4317 \mapsto 8634$
...
Bref : pour tout nombre entier $n$, $n \mapsto 2n$
Je te laisse te convaincre qu'en procédant ainsi, on a bien une bijection (tout nombre entier est associé à un unique nombre pair - son double - et tout nombre pair est associé à un unique nombre entier - sa moitié).

On peut procéder ainsi (mais c'est un peu moins évident) pour associer les entiers et les fractionnaires (voir message de marsup pour te donner une idée d'une bijection entre $\mathbb{N}$ et les fractionnaires positifs).

kadmathnet a écrit:

Je n'ai pas parlé des rationnels mais des fractionnaires. Je pense que Villani voulait dire le sous ensemble des fractionnaires ( les fractionnaires sont dans les rationnels.)

À moins que nos "définitions" de fractionnaires varient, c'est la même chose les rationnels et les fractionnaires. Un nombre $r$ est rationnel s'il existe un couple $(p,q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{Z}^*$ tel que $r = \dfrac{p}{q}$.

En espérant avoir pu t'aider un peu.

m.

Oui exactement pareil qu'entre petits et grands segments.

Est-ce que tu savais aussi qu'il y avait autant de points sur un segment que dans une droite entière ?

Est-ce que tu savais qu'il y avait autant de points sur une droite que dans le plan ?

Est-ce que tu savais qu'il y avait autant de nombres réels que de suites infinies (dénombrables) de réels ?

Mais, par contre, il y a strictement moins de réels que d'ensembles de réels (pas juste les intervalles, hein !)