Résolution d'une équation dans $\mathbb C$

Bonjour showwy,

Ok, tu as rencontré, et alors
As-tu lu la Charte 3.3.2 et 1 (!)
Raconte-nous comment tu as abordé ton exercice.

On peut s'en sortir en s'inspirant de la résolution d'équation du second degré dans $\mathbb R$.

1) Calculer $(1 + i\sqrt{3})^2$

Comme il existe l'identité remarquable suivante : (que l'on apprend en cours scolaire)

$(a+b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2$

Cette équation correspond à celle que l'on veut calculer.

Cependant, on te demande simplement de la calculer. Donc, tu peux simplement prendre une calculatrice (si possible capable de calculer des nombres complexes). Mais, ce n'est pas toujours facile. Du coup, l'identité remarquable parait pratique.

$(1 + i\sqrt{3})^2 = 1^2 + i * 2*1*\sqrt{3} + (i \sqrt{3})^2 = 1 + i 2* \sqrt{3} - 3$ (car $i^2 = -1$)

Finalement,
$(1 + i\sqrt{3})^2 = -2 + i 2 * \sqrt{3} \approx -2 + i 3.46$



2) Résoudre dans $\mathbb{C}$
$Z^2 - 2 * (1+ i\sqrt{3}) * Z + 2 * (1 + i\sqrt{3})^2 = 0$

Il semble que l'exercice demandé soit celui-ci où tu rencontres le carré $(1 + i\sqrt{3})^2$.
Contrairement à ce que tu as écris, sauf que ce n'est plus la même équation.

$Z^2 - 2 * (1+ i\sqrt{3}) * Z + 2 * (1 + i\sqrt{3})^2 = 0$

Comme il existe l'identité remarquable suivante : (que l'on apprend en cours scolaire)

$(a-b)^2 = a^2 - 2*a*b + b^2$

Cette équation correspond à celle que l'on veut calculer à une exception près.

Il est important de poser, $u = (1+ i\sqrt{3})$ car cela montre qu'il s'agit bien d'un terme indépendant de l'équation.

$Z^2 - 2 * u * Z + u^2 + u^2 = 0$

$(Z - u)^2 + u^2 = 0$

Et, comme $Z \in \mathbb{C}$, $\forall a,b \neq 0 , Z = a+ib$

Alors

$(a + 1 + i[\sqrt{3} + b])^2 + (1 + i\sqrt{3})^2 = 0$

Comme je rencontre une difficulté pour égaliser, il existe l'identité remarquable suivante qui simplifie la difficulté. Mais, je fais attention de nommer $x$ et $y$ qui ne sont ni $a$ ni $b$.

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

Il faut du coup adapter l'identité :

$x^2 - y^2 = x^2 + (iy)^2 = (x+iy)(x-iy)$

Du coup, je reprends plus tôt.

$(Z - u)^2 - (iu)^2 = 0$

Finalement, les solutions
$x_1 = Z - u + iu$
$x_2 = Z - u - iu$


Vu que l'exercice est plus compliqué que d'habitude, je suppose que le coefficient 2 devant (1 + i\sqrt{3}) ne devaient pas être là.

D'où, simplement

$Z^2 - 2 * u * Z + u^2 = 0 \Leftrightarrow (Z - u)^2 = 0$

D'où, une seule solution : $Z = u$