Séries formelles à $\mathbb{N}$ indéterminées

@Math Cross : oui on peut même considérer $\sum\limits_{i=1}^\infty X_i$.

Voilà ce que je propose, j'espère que c'est correct : On note $AX_I$ pour $AX_i, i\in I$.

Supposons $A$ intègre; $P,Q\in AX_I$ non nuls, si $n=\text{val}(P)$, $m=\text{val}(Q)$ alors comme $PQ=P_nQ_m+R$ où $\text{val}(R)>n+m$ et $P_n$,$Q_m$ sont des polynômes homogènes de degrés respectifs $n,m$, il suffit donc de montrer que $P_n Q_m\neq 0$.

Si $\text{card}(I)=1$, c'est clair donc c'est vrai pour $I$ fini par récurrence immédiate car $AX_1,...,X_n=AX_1,...,X_{n-1}X_n$.

Supposons que $P_nQ_m=0$. Soient $\nu,\mu\in \N^{(I)}$ tels que le terme en $X^\nu$ (resp. $X^\mu$) de $P_n$ (resp. $Q_m$) soit non nul.

Soit $J=\{i\in I\ \mu_i+\nu_i>0\}$, c'est un ensemble fini. Considérant l'idéal $L=\sum\limits_{i\in I\setminus J}(X_i)$ on a $\overline{P_n}\cdot\overline{Q_m}=0$ dans $AX_I/L\simeq A[X_J]$ qui est intègre donc $\overline{P_n}=0$ ou $\overline{Q_n}=0$, ce qui est absurde par le choix de $\mu,\nu$ !