Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
Trinôme - Une technique peut-être méconnue
dans Algèbre
Bonjour
Soit $T(x) = ax^2 + bx + c$ et soit $u$ un réel quelconque ; on veut connaître la position de $u$ par rapport aux racines éventuelles $x', x''$ de $T$.
Pour cela on calcule $aT(u)$ :
a) si $aT(u) = 0$, c'est que $u$ est une racine de $T$ ;
b) si $aT(u) < 0$, alors $x'$ et $x''$ sont réels et encadrent $u$ ;
c) si $aT(u) > 0$ et $\Delta > 0$, alors $x'$ et $x''$ sont réels et n'encadrent pas $u$.
Dans le dernier cas (c), pour savoir si $u < x' < x''$ ou si $x' < x'' < u$, il suffit de comparer $u$ à la demi-somme des racines $\frac {-b} {2a}$.
A+
Soit $T(x) = ax^2 + bx + c$ et soit $u$ un réel quelconque ; on veut connaître la position de $u$ par rapport aux racines éventuelles $x', x''$ de $T$.
Pour cela on calcule $aT(u)$ :
a) si $aT(u) = 0$, c'est que $u$ est une racine de $T$ ;
b) si $aT(u) < 0$, alors $x'$ et $x''$ sont réels et encadrent $u$ ;
c) si $aT(u) > 0$ et $\Delta > 0$, alors $x'$ et $x''$ sont réels et n'encadrent pas $u$.
Dans le dernier cas (c), pour savoir si $u < x' < x''$ ou si $x' < x'' < u$, il suffit de comparer $u$ à la demi-somme des racines $\frac {-b} {2a}$.
A+
Réponses
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Bonjour.
Ce genre de choses était pratiqué en seconde et première au siècle dernier. Comme la "trinômite" a été bien combattue dans les années 1970 à 2000, on ne fait plus ce genre d'exercice. A vrai dire, peu utile.
Cordialement.
NB : Dire aT(u)<0 revient à dire que T change de signe entre -oo et u. -
Je connaissais pas ce résultat. Merci. ;-)
Cela me rappelle, un de mes premiers TD à la fac, en 1995 où le prof fait un "discriminant réduit" au tableau, sans rien dire. On se regardait tous en se disant que le prof racontait n'importe quoi. "Le pauvre, il est même pas foutu capable de calculer "un delta" "Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
RE
Un exemple d'utilité
Un certain problème de construction géométrique se traduit par une équation paramétrée du second degré P(x) = 0, sachant que les racines doivent être comprises entre deux limites u et v.
Au lieu de vérifier laborieusement que u < x', x'' < v en résolvant des inéquations avec radicaux, on calcule P(u) et P(v)...
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
C'était la tarte à la crème du programme d'algèbre de première en 1961 (année de ma première partie de bac); dans mes souvenir je n'ai fait que ça, et l'étude de fonctions homographiques... Bon il devait y avoir d'autres choses mais...
Bruno
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Bonjour!
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