anneau intègre
Bonjour.
J'ai comme définition (poly de ma fac quand j'étais jeune) d'un anneau intègre la proposition suivante:
A est intègre si A est commutatif et n'admet pas de diviseurs de zéro.
Or dans le Combes et le Rombaldi un anneau intègre n'est pas nécessairement commutatif.
Quel est la définition officielle?
Merci
ps: Dans ma définition d'anneau je le suppose toujours unitaire.
J'ai comme définition (poly de ma fac quand j'étais jeune) d'un anneau intègre la proposition suivante:
A est intègre si A est commutatif et n'admet pas de diviseurs de zéro.
Or dans le Combes et le Rombaldi un anneau intègre n'est pas nécessairement commutatif.
Quel est la définition officielle?
Merci
ps: Dans ma définition d'anneau je le suppose toujours unitaire.
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Réponses
Noter le "non trivial" à ne pas oublier.
- les anneaux intègre : anneau (non nécessairement unitaire) non nul et sans diviseur de zéro. - les domaines d'intégrité : anneau unitaire, commutatif, intègre.
Pour ma part, je n'ai vu nulle part ailleurs la notion de domaine d'intégrité mais ça doit bien exister ailleurs.
$(\mathbb{K},+,\times)$ est un corps si $(\mathbb{K},+,\times)$ est anneau et $(\mathbb{K},\times)$ un groupe abélien.
Y a t-il une norme dans les définitions ?
[Correction du code LaTeX].
Un anneau A est intègre s'il est commutatif, non réduit à 0, et si le produit de deux éléments non nuls de A est non nul.
Dans le livre d'algèbre de Arnaudiès/Lelong-Ferrand, la définition III.2.5 donne ceci :
et il est précisé ceci (juste après !) :
Un anneau intègre et commutatif est parfois appelé un domaine d'intégrité.
Cordialement,
Thierry
Il est alors précisé ceci
Apparemment la définition d'anneau intègre la plus répandue est celle avec la commutativité, par exemple dans les cours de prepa de RDO, A/F, A/L-F, Gourdon, Debeaumarché, et aussi Bourbaki, Wikipédia, Arnaudiès/Bertin, Berhuy.
Mais ça n'implique pas que un corps est forcément commutatif ! Parmi ces références il n'y a que Debeaumarché et Berhuy qui considèrent que la multiplication d'un corps est commutative
Parmi ceux qui ne mettent pas la commutativité dans la définition d'anneau intègre il y a aussi le cours d'algèbre de Godement et le cours de MP de Voedts.
Définition : Un corps est un anneau à division commutatif.
Théorème de Wedderburn : Tout anneau à division fini est un corps.
Je ne pense pas que le Gourdon soit une référence incontournable sur ce genre de questions... Le Perrin définit un anneau intègre comme un anneau en particulier commutatif.