La réponse est donnée par le théorème d'Erdös-Kaplansky :
\begin{align} \dim_{\R}\R^{\R} &= \text{Card}({\R})^{\text{Card}(\R)} & \dim_{\R}\R^{\N} &= \text{Card}(\R)^{\text{Card}(\N)} \end{align}
@gb le théorème que tu cites ne concerne que les duaux, ce que $\R^\R$ et $\R^\N$ ne sont pas a priori. C'est surprenant d'ailleurs que le théorème cité ne parle que des duaux.
Soit $E$ un espace vectoriel sur $K$ de cardinal $\kappa$ et de dimension infinie $\mu$, et soit $B$ une base de $E$ de cardinal $\lambda$. Alors $\kappa = |E| = | \{0\} \cup \displaystyle\bigcup_{I \subset B, fini}\{\displaystyle\sum_{v\in I}\lambda_v v, (\lambda_v) \in K^{I}\setminus\{0\}\}| \leq \displaystyle\sum_{I\subset B, fini} |K^{I}|$.
Supposons désormais que $K$ soit infini de sorte que pour $I$ fini, $|K^I| = |K|$. Comme $B$ est infinie, l'ensemble des parties finies de $B$ est de cardinal $|B|$, de sorte que le cardinal de $E$ est majoré par $|B||K|$. Il est de plus très clairement minoré par ce cardinal ($B\times K^*\to E$ définie par $(v,\lambda) \mapsto \lambda v$ est injective, et on a supposé $K$ infini).
En conclusion, $\kappa =\mu|K|$ (Cantor-Bernstein), et donc (axiome du choix) $\kappa = \max(\mu, \kappa)$.Dans le cas qui nous intéresse, $\kappa > |K|$, et donc $\kappa = \mu$, ce qui donne les dimensions indiquées par gb.
À noter que lorsque la dimension est petite ($\leq |K|$) un argument de cardinal brutal comme celui-ci ne permet pas de déterminer la dimension (exemple : $\mathbb{Q}[X]$ et $\mathbb{Q}$ n'ont pas la même dimension mais sont tous deux dénombrables)
(Notons aussi que le résultat final reste valable si on suppose $B$ finie non vide, car alors, sous l'hypothèse $|K|$ infini, on a bien $|K^n | = |K| = n|K|$. Lorsque $K$ est fini, le calcul devient infiniment plus simple : si $E$ est de dimension finie, dim$E = \frac{ln(|E|)}{ln(|K|)}$, et si il est de dimension infinie, les calculs d'avant donnent que $|E| \leq |B|$, l'inégalité inverse étant clairement vérifiée, de sorte que $|E| = dim_K(E)$)
@Maxtimax M'enfin \(\R^I\) est le dual de \(\R^{(I)}\)…
D'ailleurs Bourbaki (Algèbre, chap. II, § 7, ex. 3) donne le théorème pour \(K^I\) et n'évoque pas d'espace dual.
@gb : ah je ne connaissais pas ce théorème, j'y refléchirai :-D j'ai juste regardé le lien que tu envoies et vu que ça parlait de duaux (ce qui m'a surpris, et d'après ce que tu dis, c'est en fait normal )
EDIT : en fait c'est évident, au temps pour moi. Bizarrement personne ne me l'avait dit et je n'y avais jamais réfléchi
Réponses
La réponse est donnée par le théorème d'Erdös-Kaplansky :
\begin{align} \dim_{\R}\R^{\R} &= \text{Card}({\R})^{\text{Card}(\R)} & \dim_{\R}\R^{\N} &= \text{Card}(\R)^{\text{Card}(\N)} \end{align}
Soit $E$ un espace vectoriel sur $K$ de cardinal $\kappa$ et de dimension infinie $\mu$, et soit $B$ une base de $E$ de cardinal $\lambda$. Alors $\kappa = |E| = | \{0\} \cup \displaystyle\bigcup_{I \subset B, fini}\{\displaystyle\sum_{v\in I}\lambda_v v, (\lambda_v) \in K^{I}\setminus\{0\}\}| \leq \displaystyle\sum_{I\subset B, fini} |K^{I}|$.
Supposons désormais que $K$ soit infini de sorte que pour $I$ fini, $|K^I| = |K|$. Comme $B$ est infinie, l'ensemble des parties finies de $B$ est de cardinal $|B|$, de sorte que le cardinal de $E$ est majoré par $|B||K|$. Il est de plus très clairement minoré par ce cardinal ($B\times K^*\to E$ définie par $(v,\lambda) \mapsto \lambda v$ est injective, et on a supposé $K$ infini).
En conclusion, $\kappa =\mu|K|$ (Cantor-Bernstein), et donc (axiome du choix) $\kappa = \max(\mu, \kappa)$.Dans le cas qui nous intéresse, $\kappa > |K|$, et donc $\kappa = \mu$, ce qui donne les dimensions indiquées par gb.
À noter que lorsque la dimension est petite ($\leq |K|$) un argument de cardinal brutal comme celui-ci ne permet pas de déterminer la dimension (exemple : $\mathbb{Q}[X]$ et $\mathbb{Q}$ n'ont pas la même dimension mais sont tous deux dénombrables)
(Notons aussi que le résultat final reste valable si on suppose $B$ finie non vide, car alors, sous l'hypothèse $|K|$ infini, on a bien $|K^n | = |K| = n|K|$. Lorsque $K$ est fini, le calcul devient infiniment plus simple : si $E$ est de dimension finie, dim$E = \frac{ln(|E|)}{ln(|K|)}$, et si il est de dimension infinie, les calculs d'avant donnent que $|E| \leq |B|$, l'inégalité inverse étant clairement vérifiée, de sorte que $|E| = dim_K(E)$)
D'ailleurs Bourbaki (Algèbre, chap. II, § 7, ex. 3) donne le théorème pour \(K^I\) et n'évoque pas d'espace dual.
EDIT : en fait c'est évident, au temps pour moi. Bizarrement personne ne me l'avait dit et je n'y avais jamais réfléchi