Équation spéciale avec racines

On peut se débarrasser des racines carrées et montrer que $a$ est solution de l'équation $a^4 - 159a^2+840a-588=0$. Après, il existe des méthode pour trouver une solution exacte (cf méthode de Ferrari), mais j'ai l'impression qu'ici, ça risque de donner des expressions compliquées.
En tout cas, numériquement, on a $a = 0.829758839991377421739...$

En fait, avec l'aide de maple : $a = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{243 - 112\sqrt{3}}}{2}$.

Bonjour,

Pour revenir à la question initiale, trouver les solutions de l'équation $\displaystyle 2 a^2 + 12 \sqrt{24+a^2}+10 \sqrt{13+a^2}=98$ d'inconnue $\displaystyle a \in \R$, on établit d'abord l'existence et l'unicité d'une telle solution pour $\displaystyle a >0$ - en effet, la fonction $\displaystyle x \mapsto x^2 + 6 \sqrt{24+x^2}+5 \sqrt{13+x^2}-49$ est définie et dérivable sur $\displaystyle x \geq 0$ avec une dérivée positive, elle est donc croissante avec $\displaystyle f(0) <0$ et $\displaystyle f(x) \to +\infty, (x \to +\infty)$, il existe donc une solution unique $a$ à l'équation $\displaystyle f(x) = 0, x>0.$ Par parité, une autre solution négative est $\displaystyle -a.$

Le changement de variables $a \leadsto t$ avec $\displaystyle 6 \sqrt{24+a^2}+5 \sqrt{13+a^2}=t \sqrt{61} a + \sqrt{1189}, t >0$ donne après une élévation au carré $\displaystyle a = {2 \sqrt{1189} \over \sqrt{61}} {t \over 1-t^2}, t >1.$ Il suffit de reporter dans l'équation $\displaystyle f(a)=0$ pour trouver une équation polynomiale du second degré en $\displaystyle t^2$ que l'on sait résoudre (on ne retient que la racine $\displaystyle t>1$). Les calculs sont pénibles mais on aboutit.