Exercice d'algèbre (voie économique)

Bonsoir à tous
Il y a dans ce présent message, deux documents en pièce jointe, l'énoncé d'un exercice et mon travail sur cet exercice.
Mon problème est le suivant, d'après le théorème du rang dans la question (2), je trouve que la dimension de Im phi est inférieur ou égal à 2.
Sauf que lorsque je le fais à la main, je trouve que la dimension de Im phi est 3... Soit il y a forcément un vecteur qui est combinaison linéaire des autres et je n'arrive pas à le voir, ou bien, je me suis trompée quelque part, mais je ne sais pas où...? Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Bonne journée.