Catégories, épimorphismes et surjections

sebsheep · March 2018

Bonjour,

Dans un cours que j'ai regardé sur Youtube, le prof introduit les épimorphismes en parlant des surjections dans Set. J'arrête alors la vidéo pour chercher un critère "catégorique" à être une surjection (avant que le prof ne le donne), et j'aboutis au critère suivant :

moi a écrit:

Soit $a,b$ dans Set et $f:a\to b$. $f$ est surjective si et seulement si pour tout $c$ dans Set et tout $g:c\to b$
il existe $h: c\to a$ tel que $f\circ h = g$ (autrement dit, toute fonction de codomaine $b$ se factorise par $f$).

Ce qui n'est pas la définition d'un épimorphisme:

théorie des catégorie a écrit:

$f:a\to b$ est un épimorphisme si et seulement si pour tout $c$ et $g_1,g_2 : b\to c$, $g_1 \circ f= g_2\circ f \implies g_1 =g_2$.

Dans Set ces deux énoncés équivalent à "être surjective" donc sont équivalent, mais je n'arrive pas à voir de lien purement "catégorique" entre ces deux notions. L'un implique l'autre ? Aucun lien dans une catégorie quelconque ? S'il n'y a pas de relation d'implication, la notion que j'ai dégagée de "tout morphisme se factorise par $f$" a-t-elle un nom, une "importance" quelconque ?

marsup · March 2018

Je pense que la définition sur laquelle tu es tombé c'est
"surjective $\Longleftrightarrow$ admettre une section"
une section $s$ étant une fonction dans l'autre sens que $f$ telle que $f \circ s = id$.
(comme dans les suites exactes pour les sous-groupes distinguées, ou bien pour les fibrés, revêtements, etc.)

C'est pas idiot, mais par exemple tu vois bien que ce n'est déjà plus le cas pour les fonctions $f$ continues...

En revanche, je pense qu'admettre une section implique la simplifiabilité à droite (épimorphisme).

Alesha · March 2018

Ta caractérisation des surjections nécessite l'axiome du choix, ce qui n'est pas le cas de la caractérisation des surjections comme épimorphismes de la catégorie des ensembles.

sebsheep · March 2018

Merci pour vos réponses.

Effectivement Marsup, ma caractérisation revient à "admettre une section". Je vois bien comment déduire la propriété d'épimorphisme à partir de celle là.

Par contre, ta phrase

marsup a écrit:

C'est pas idiot, mais par exemple tu vois bien que ce n'est déjà plus le cas pour les fonctions f continues...

reste quelque peu sibylline pour moi... Peux-tu détailler de quoi tu parles ?

marsup · March 2018

La fonction continue $f : x \mapsto x^3 - 3 x$ est continue et surjective.

Pourtant, elle n'admet pas de section (continue).

La fonction $g :\theta \mapsto \exp(i\theta)$ est continue et surjective $\R \to \mathbb{S}^1$ (groupe des complexes de module 1).

Pourtant elle n'admet pas de section (continue) : c'est un revêtement non-trivial.