Courbes elliptiques

Voir une jolie video : Courbes elliptiques racontees a mes enfants , article courbes elliptique sur wiki c'est un cours

Oui bien sûr.

Bonjour,

pour te faire la main sur un exemple, tu peux jeter un œil à un sujet de concours des ENS (2003 Ulm Lyon il me semble).

Hello,
J'interviens pour dire un petit quelque chose (qui n'est pas du pinaillage, on va dire que je connais 2 ou 3 trucs sur le sujet). NON, une courbe elliptique ce n'est pas une cubique plane non singulière. Pour se donner une courbe elliptique, il faut se donner un corps de base $K$, une cubique plane (projective) non singulière définie sur $K$ ET un point-base défini sur $K$. La différence est énorme !

Par exemple, avec $K = \Q$, la (célèbre) cubique de Selmer :
$$
3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0 \qquad \qquad \hbox {(pour s'en souvenir : $3,4,5$ comme coefficients)}
$$
est une cubique (projective) plane non singulière définie sur $\Q$. Mais elle n'admet pas de point $\Q$-rationnel et ne peut donc pas être munie d'une structure de courbe elliptique sur $\Q$.

Par contre, la cubique de Fermat sur $\Q$, munie du point-base $p_0$ défini sur $\Q$
$$
x^3 + y^3 + z^3 = 0, \qquad \qquad p_0 = (1 : -1 : 0)
$$
est une courbe elliptique définie sur $\Q$.

On ne peut pas négliger cet aspect de rationalité car c'est un des points les plus importants dans la théorie des courbes elliptiques !

@zariski
Oui, c'est cela. Et c'est pour cette raison que c'est plus qu'important (de disposer d'un tel point, qui fait partie des données de la courbe elliptique) ! J'attache un bout de dessin mal fichu (pas les moyens de faire joli).