Forme hermitienne
dans Algèbre
Bonjour,
Soit $a, b \in \mathbb{R}$, $a<b$.
Soit $u \in C([a,b] \times [a,b], \mathbb{C})$ telle que $\forall t,s \in [a,b], u(s,t) = \overline{u(t,s)}$.
Montrer que l'application $H : C([a,b], \mathbb{C}) \times C([a,b], \mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$ définie par :
$H(f,g) = \int_a^b ( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds) dt$ est une forme hermitienne sur $C([a,b], \mathbb{C})$.
Alors ma réponse : \begin{align*}
H(f + \lambda f',g) &= \int_a^b \Big( \int_a^b (f+ \lambda f')(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big( \int_a^b (f(t) + (\lambda f')(t)) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds + \int_a^b (\lambda f')(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&=\int_a^b \Big( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds + \overline{\lambda} \int_a^b f'(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big(\int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt + \int_a^b \Big(\overline{\lambda} \int_a^b f'(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big(\int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt + \overline{\lambda} \int_a^b \Big( \int_a^b f'(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&=H(f,g) + \overline{\lambda} H(f',g).
\end{align*}
De la même manière, on prouve que $H(f, g+\lambda g') = H(f,g) + \lambda H(f,g')$.
Pour le dernier point à prouver :
$H(g,f) = \int_a^b ( \int_a^b g(t) \overline{f(s)} u(t,s) ds) dt$.
$\overline{H(f,g)} = \overline{ \int_a^b ( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds) dt} = \int_a^b ( \int_a^b \overline{f(t)} g(s) \overline{u(t,s)} ds) dt$.
J'ai un peu de mal à poursuivre.
Quelqu'un pourrait me donner un coup de main ?
Merci d'avance.
Soit $a, b \in \mathbb{R}$, $a<b$.
Soit $u \in C([a,b] \times [a,b], \mathbb{C})$ telle que $\forall t,s \in [a,b], u(s,t) = \overline{u(t,s)}$.
Montrer que l'application $H : C([a,b], \mathbb{C}) \times C([a,b], \mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$ définie par :
$H(f,g) = \int_a^b ( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds) dt$ est une forme hermitienne sur $C([a,b], \mathbb{C})$.
Alors ma réponse : \begin{align*}
H(f + \lambda f',g) &= \int_a^b \Big( \int_a^b (f+ \lambda f')(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big( \int_a^b (f(t) + (\lambda f')(t)) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds + \int_a^b (\lambda f')(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&=\int_a^b \Big( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds + \overline{\lambda} \int_a^b f'(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big(\int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt + \int_a^b \Big(\overline{\lambda} \int_a^b f'(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&= \int_a^b \Big(\int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt + \overline{\lambda} \int_a^b \Big( \int_a^b f'(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds\Big) dt\\
&=H(f,g) + \overline{\lambda} H(f',g).
\end{align*}
De la même manière, on prouve que $H(f, g+\lambda g') = H(f,g) + \lambda H(f,g')$.
Pour le dernier point à prouver :
$H(g,f) = \int_a^b ( \int_a^b g(t) \overline{f(s)} u(t,s) ds) dt$.
$\overline{H(f,g)} = \overline{ \int_a^b ( \int_a^b f(t) \overline{g(s)} u(t,s) ds) dt} = \int_a^b ( \int_a^b \overline{f(t)} g(s) \overline{u(t,s)} ds) dt$.
J'ai un peu de mal à poursuivre.
Quelqu'un pourrait me donner un coup de main ?
Merci d'avance.
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Réponses
Utilise la propriété de $u$ pour écrire l’integrale de la fin de ton message autrement qui à renommer les variables muettes d’integration.
Du coup je trouve $\overline{H(f,g)} = \int_a^b ( \int_a^b g(s) \overline{f(t)} u(s,t) ds) dt$. Y a en effet un petit souci au niveau des variables mais ça n'a pas une grande importance je pense !
J'en profite pour poser la deuxième question de l'exercice :
b) On prend ici $a=0$, $0 < b <1$ et $u(t,s) = \dfrac{1}{1-ts}$ pour $t, s \in [0,b]$.
Je dois montrer que $u$ satisfait la condition du b) et que la forme hermitienne $H$ associée vérifie :
$\forall f \in C([0,b], \mathbb{C})$, $H(f,f) = \sum_{n=0}^{\infty} |\int_a^b f(t) t^n dt |^2$.
Si je comprends bien la première partie de la question, je dois montrer que $u(s,t) = \overline{u(t,s)}$.
Donc $\overline{u(t,s)} = \overline { \dfrac{1}{1-ts} } = \dfrac{1}{1- \overline{t} \overline{s}}$. La relation est vérifiée si t et s sont des réels, sinon ça ne marche pas.
$H(f,f) = \int_a^b ( \int_a^b f(t) \overline{f(s)} u(t,s) ds) dt$
$= \int_a^b (\int_a^b \dfrac{f(t) \overline{f(s)}}{1-ts} ds) dt$
$= \int_a^b (\int_a^b \dfrac{|f(t)|^2}{1-ts} ds) dt$
$=\int_a^b (\int_a^b \sum_n (ts)^n |f(t)|^2 ds) dt$
Encore une fois j'ai un petit souci à partir de là, je sais que $\sum_n (st)^n = \dfrac{1}{1-st}$, mais ça ne m'aide pas beaucoup...
J'ai l'impression d'être un peu beaucoup partie en délire...
Pour le b), si $s, t \in [0, b]$, ceux-ci sont bien évidemment réels ! Ensuite attention tu passes de $f(t) \overline{f(s)}$ à $|f(t)|^2$. Ton développement en série doit être justifié. Sinon, il va falloir à un moment où un autre intervertir somme et intégrale, à justifier correctement également ;-)