Exercice d'algèbre ( Voie économique)
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
j'ai réussi presque toute les questions du sujet Ecricome 2015 voie E, sauf une que j'ai un peu du mal à comprendre, il s'agit de la question III) 2) de l'exercice 2: Montrer que N et N' sont des vecteurs propres de l’endomorphisme phi A associés à la valeur propre µ, ( vous trouverez l'énoncé dans la pièce jointe).
Si je comprends bien, il faut montrer que
1)Phi (N)=µN
2)Phi (N')=µN'
Donc pour le 1 par exemple, on fait alors ( A- µI) (N)=0 ( Où I veut dire la matrice identité)
Ce qui me donne un système mais après je ne sais pas ce que je dois faire... je ne sais pas comment faire, pour prouver à partir de ce système que N est un vecteurs propre de l’endomorphisme Phi A associé à la valeur propre µ. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée.
j'ai réussi presque toute les questions du sujet Ecricome 2015 voie E, sauf une que j'ai un peu du mal à comprendre, il s'agit de la question III) 2) de l'exercice 2: Montrer que N et N' sont des vecteurs propres de l’endomorphisme phi A associés à la valeur propre µ, ( vous trouverez l'énoncé dans la pièce jointe).
Si je comprends bien, il faut montrer que
1)Phi (N)=µN
2)Phi (N')=µN'
Donc pour le 1 par exemple, on fait alors ( A- µI) (N)=0 ( Où I veut dire la matrice identité)
Ce qui me donne un système mais après je ne sais pas ce que je dois faire... je ne sais pas comment faire, pour prouver à partir de ce système que N est un vecteurs propre de l’endomorphisme Phi A associé à la valeur propre µ. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée.
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Réponses
Effectue Considère les produits matriciels $AN$ et $AN'$ et sers-toi de ce que tu sais de $X$.
Bien cordialement,
"on fait alors ( A- µI) (N)=0" ?? Que veut dire "faire" ici ?
Il te suffit de calculer ( A- µI) (N) puis de conclure en ramenant à $\varphi_A$.
Cordialement..
\begin{bmatrix}
x & 0 \\
y & 0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
Comme ça tu trouves directement :
$$
\phi_A(N) = A \cdot X \cdot
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
= \mu X \cdot
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
= \mu \cdot N.
$$
merci pour beaucoup pour votre aide, je crois avoir compris, d'abord on AN= µN, ensuite je fais une identification des coefficients, où je remarque que
ax + by = µx
cx + dy = µy.
De plus on constate que AX = µX, c'est aussi
ax + by = µx
cx + dy = µy.
Donc normalement, c'est bon N est un vecteur propre de A associé à la
valeur propre µ. C'est à cela que vous pensiez ?
merci également pour votre aide, mais j'ai un peu du mal avec votre explication Marsup...en tout cas merci quand même pour votre aide
!
Bonne soirée,
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Ce n'est pas très bien rédigé et l'argument important $N\neq 0_{\mathcal{M}_2(\R)}$ n'apparaît pas.
Il n'était pas nécessaire d'effectuer le produit matriciel "jusqu'au bout".
Tu pouvais remarquer que, par définition du produit matriciel, $AN$ amène une matrice carrée d'ordre $2$ dont la première colonne correspond à $AX$ et la 2ème colonne est nulle.
Tu conclus en utilisant ce que tu sais de $X$...
Bien cordialement,
-Effectivement, j'ai complètement oublié l'argument de mon cours, qui est d'ailleurs l'un des plus important que N doit être différent de 0 , merci !
Merci beaucoup pour votre aide Bbidule !
Et bonne soirée à vous !