questions sur structures algébriques

Bonsoir, je pense que tu peux considérer le morphisme qui à un polynôme de ton quotient renvoie la classe de son terme constant modulo 5.

Salut math65,

mes remarques étaient juste là pour te signaler quelques points qui sont souvent source d'erreur (ex : croire que $\sigma^p=Id$ implique que $p$ est l'ordre de de $\sigma$ ; mal comprendre la définition d'idéal principal), ça n'impliquait pas forcément une "longue" rédaction de chacun des points soulevés. Par exemple, pour la question 1, signaler simplement que si $\tau_1 \neq \tau_2$, alors $\tau_1 \tau_2 \neq Id$ suffit amplement, je pense.

Cela dit, oui, ce que tu as fait est correct (sauf si j'ai loupé un truc).
Juste deux choses (détails) pour la question 3 :
* pense quand même à justifier que $\phi$ est un morphisme (ou pense au moins à le dire) avant de déterminer son noyau ;
* pour déterminer le noyau de $\phi$, tu peux procéder directement par équivalence.

m.

Salut,

pour la question c, j'ai envie de dire que ça dépend de ta définition du groupe diédral. Mais en vérifiant ce que tu dis, tu démontres bien qu'il s'agit du groupe diédral $D_8$ (ou $D_{16}$ selon comment tu notes le groupe diédral d'ordre $2n$ : $D_n$ ou $D_{2n}$).

Question d) : il y a une erreur dans ta définition de $K$, il s'agit certainement de $K = \dfrac{\mathbb{Z}/\mathbb{5Z}[X]}{(x^2+\overline{2})}$ (et non $\dfrac{\mathbb{Z}/\mathbb{5Z}}{(x^2+\overline{2})}$.
* vu qu'il y a peu d'éléments dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, il n'est pas trop difficile de déterminer, si elle(s) existe(nt), les racines d'un polynômes de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]$ : il suffit de tester pour chacune des valeurs possibles.

Pour le reste, ça dépend un peu de ce que tu as dans ton cours. Par exemple, pour la question consistant à montrer que $K$ est un corps, c'est assez immédiat si tu possèdes les deux résultats suivants :
* celui liant corps (resp. anneau intègre) et idéaux maximaux (resp. premier).
* celui liant les éléments irréductibles d'un anneau commutatif intègre et les idéaux engendrés par les éléments irréductibles.
Si tu connais ces deux résultats, vu la question précédente que dire du polynôme $x^2+\overline{2}$ ? Qu'en déduire concernant l'idéal $(x^2+\overline{2})$ ?
Si tu ne connais pas ces deux résultats, une indication : utilise l'irréductibilité de $x^2+\overline{2}$ dans $\mathbb{Z}/\mathbb{5Z}[X]$ pour montrer que $K$ est un corps (tu sais déjà que $K$ est un anneau, j'imagine, il te reste à montrer que tout élément non nul est inversible).

Bon courage.

m.

P. S. : c'est un exercice posé à quel niveau, dans quel cadre ? La réponse à cette question pourrait nous indiquer comment t'aider.

Salut,

dans un anneau, en toute généralité, irréductible et premier ne signifient pas la même chose :

Soit $A$ un anneau commutatif intègre.

$x \in A$ est dit irréductible dans $A$ si :
* $x \notin A^\times$ (où $A^\times$ désigne le groupe des inversibles de $A$)
* $\forall(a,b) \in A^2$, $x = ab \implies a \in A^\times$ ou $b \in A^\times$.

$x \in A$ est dit premier dans $A$ si :
* $x \neq 0$, $x \notin A^\times$.
* $\forall(a,b) \in A^2$, $x \mid ab \implies x \mid a $ ou $x \mid b$.

Dans un anneau commutatif intègre, on a toujours "$x$ premier $\implies$ $x$ irréductible" mais la réciproque est fausse en général. Contre-exemple : dans $\mathbb{Z}[i \sqrt{5}]$, $3$ est irréductible (à prouver) mais non premier puisque $3$ divise $9 = (2+i\sqrt{5})(2-i\sqrt{5})$ mais $3$ ne divise aucun des deux facteurs $(2+i\sqrt{5})$, $(2-i\sqrt{5})$.

En revanche, la réciproque est vrai un anneau principal, ce qui est le cas ici puisque $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ est un corps.

Tu peux te passer de montrer que $(x^2 + \overline{2})$ est maximal et du résultat que j'ai mentionné. Comme je te le disais dans mon message précédent, utilise l'irréductibilité de $(x^2 + \overline{2})$ dans $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]$ pour montrer que $K$ est un corps, c'est assez simple et rapide :
* tu sais déjà que $K$ est un anneau (pourquoi ?).
* Tu prends $Q \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]$ tel que $\overline{Q} \neq \overline{0}$. Tu montres que $x^2 + \overline{2}$ et $Q$ sont premiers entre eux, tu utilises Bézout et tu en déduis que $\overline{Q}$ possède bien un inverse dans $K$.

Je laisserai un-e autre intervenant-e t'en dire plus sur la cardinalité de $K$ et sa caractéristique, ou alors j'y reviendrai plus tard si j'ai le temps de m'y pencher. À l'heure actuelle, je pense bien avoir la réponse (caractéristique $5$ et cardinal $25$) mais je n'ai pas réfléchi à comment justifier tout ça avec les outils dont tu disposes.

Bon courage.

C'est correct sauf un point*, mais il serait bon que tu sois plus au clair avec ces notions, elles sont à la base de la théorie des corps et la théorie de Galois !

*Ce n'est pas simplement parce que $X^2+2$ n'a pas de racines (dans $\mathbb Z/5 \mathbb Z$, il faut toujours préciser où), que lorsque $Q$ n'est pas divisible par ce polynôme alors $Q$ et $X^2+2$ n'ont pas de facteurs communs ! Par exemple, dans $\mathbb R$, je considère le polynôme $(X^2+1)(X^2+X+1)$ qui n'a pas de racines dans $\mathbb R$, il ne divise pas $X^2+1$ pourtant ils ont un facteur commun !

Oui c'est ça. Attention à ta dernière phrase, ça n'a de sens que dans un anneau factoriel disons.

Salut,

pour la caractéristique d'un anneau $A$, la définition est la suivante :
on considère le morphisme $\phi$ de $\mathbb{Z}$ dans $A$ défini par :
$\forall n \in \mathbb{Z}$, $\phi(n) = n.1_A$ où $n.1_A$ désigne l'"addition répétée" de $1_A$. Autrement dit :
$n.1_A=0_A$ si $n=0$
$n.1_A=1_A+1_A+...+1_A$ ($n$ termes égaux à $1_A$) si $n > 0$
$n.1_A=(-1_A)+(-1_A)+...+(-1_A)$ ($-n$ termes égaux à $-1_A$) si $n < 0$.

On vérifie aisément que $\phi$ est un morphisme d'anneaux, son noyau est donc un idéal de $\mathbb{Z}$ : par conséquent, $\exists ! p \in \mathbb{N}, ker(\phi)=p\mathbb{Z}$. On appelle caractéristique de $A$ l'entier $p$ en question.

Dit autrement, l'idée est donc la suivante : on regarde l'addition $1_A + 1_A + ... + 1_A$ et la caractéristique est le nombre minimal de termes nécessaires pour obtenir $0$. Si ce n'est pas possible (exemple $A = \mathbb{Z}$), on parle de caractéristique nulle.

Pour revenir à ton exercice : je n'ai pas essayé mais je pense que chercher le noyau de cette application $\phi$ (qui va de $\mathbb{Z}$ dans $K$, ici) ne doit pas être sorcier et te donnera la réponse concernant la caractéristique de $K$.

Quant au cardinal de $K$, je n'ai pas d'idée immédiate pour le déterminer (avec les outils dont tu disposes) mais un autre intervenant saura certainement t'aider.
Une piste (que j'essaierai en premier lieu, mais sans garantie que ça marche) : regarder $K$ comme un $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ espace vectoriel, déterminer sa dimension et en déduire son cardinal.