Fonction Implicite

Suggestion (il doit y avoir mieux) : déterminer les coordonnées $(x,y)$ de l'intersection du cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $L$ et du cercle de centre $(X,Y)$ et de rayon $\ell$ (il y a deux solutions si $X^2+Y^2<L+\ell$). L'angle polaire de $(x,y)$ (l'argument de $x+\mathrm{i}y$) donne $\theta$ et $\beta$ n'est plus loin du tout.

J'ai dû mal comprendre. Comme tu as parlé de robotique, je me suis dit que $L$ et $\ell$ étaient fixés (la longueur de deux bras) et que $(X,Y)$ était un point atteignable et donc à une distance plus petite que $L+\ell$. Dans ces conditions, si $\sqrt{X^2+Y^2}<L+\ell$ (coquille ci-dessus), les deux cercles ne sont pas tangents puisque $\sqrt{X^2+Y^2}$ est la distance entre les centres et $L$ et $\ell$ sont les rayons.

Voici la figure que j'ai en tête avec deux cercles pas tangents du tout. Ils le seraient si les deux bras étaient dans le prolongement l'un de l'autre, ce qui arrive précisément quand $\sqrt{X^2+Y^2}=L+\ell$.

Je n'avais pas vu la contrainte que $\sqrt{X^2+Y^2}\ge L-\ell$ (ce qui n'est une contrainte que si $L\ge\ell$, où $L$ est la longueur du premier bras et $\ell$ celle du second).

Je ne vois pas le problème avec ma figure : veux-tu dire qu'il vaut mieux centrer le cercle en $(x,y)$ au lieu de $(X,Y)$ ?

Sinon, pour résoudre le problème, on peut définir $D>0$ et $\let\a=\alpha\a$ à $2\pi$ près par ($X^2+Y^2=D^2$ et) $(X,Y)=(D\cos\a,D\sin\a)$. Les contraintes de distances donnent les équations suivantes :
\begin{align*}(X-x)^2+(Y-y)^2&=\ell^2\\x^2+y^2&=L^2.\end{align*}Puis, en soustrayant membre à membre, on trouve
\[2Xx+2Yy=D^2+L^2-\ell^2,\]ce qui s'écrit aussi
\[2DL\cos(\theta-\alpha)=D^2+L^2-\ell^2\](le tout aux erreurs de calcul près bien sûr). On voit maintenant pourquoi il y a deux solutions $\a$ quand il y en a et la fin du calcul est très facile.

NB : On voit apparaître l'invariant anallagmatique de deux cercles, $\dfrac{D^2+L^2-\ell^2}{2DL}$ (qui est le cosinus de l'angle des tangentes aux points d'intersection) mais ce ne sont pas ceux que j'ai dessinés, il faut des rayons égaux à $D$ et $L$ et une distance entre centres égale à $\ell$, ce qui suggère de tracer les cercles $\mathscr{C}(m,L)$ et $\mathscr{C}(M,D)$ où $m=(x,y)$, $M=(X,Y)$ et regarder leur intersection en $O=(0,0)$. À ce moment-là, il est clair que $\theta-\a$ est l'angle des tangentes ou, ce qui revient au même, l'angle $\widehat{MOm}$. Tiens, c'est peut-être ça la figure qu'il fallait tracer pour être futé ?

$$2DL\cos(\theta-\alpha)=D^2+L^2-\ell^2$$

Al-Kashi, tout simplement !

Ah ! Eh bien oui, Al-Kashi bien sûr ! Eh bien, je vais arrêter la robotique...