Deuxième multiplication sur les matrices

Bonjour,

Soit $n \geq 2$, et $E=\mathcal{M}_n(\C)$, existe-t-il une fonction bilinéaire $*$ de $E \times E$ dans $E$ telle que:
1) $*$ est associative, c'est-à-dire que pour tout $A,B,C \in E, (A*B)*C=A*(B*C)$,
2) l'identité $I_n$ est élément neutre de $*$,
3) et pour tout $A,B \in E$, $A*B-B*A=2(AB-BA)$ ?

Merci d'avance.