Sujet HEC 2013 voie économique
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
ce matin mes camarades et moi avons eu pour sujet de concours blancs, en partie 2, l'exercice d'algèbre du sujet Maths HEC 2013 ( en pièce en jointe). L'exercice est dans l'ensemble abordable, mais il y a deux questions qui m'ont énormément posé problème,et sur lesquelles je suis toujours entrain de réfléchir depuis que je suis rentrée. Il s'agit de la question 2)b) Montrer que g est un automorphisme de E. Déterminer l’automorphisme réciproque. . Et la question 2)c) Établir l’égalité Ker u = Ker (g-idE)
Je ne vois vraiment pas comment faire...? Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée
ce matin mes camarades et moi avons eu pour sujet de concours blancs, en partie 2, l'exercice d'algèbre du sujet Maths HEC 2013 ( en pièce en jointe). L'exercice est dans l'ensemble abordable, mais il y a deux questions qui m'ont énormément posé problème,et sur lesquelles je suis toujours entrain de réfléchir depuis que je suis rentrée. Il s'agit de la question 2)b) Montrer que g est un automorphisme de E. Déterminer l’automorphisme réciproque. . Et la question 2)c) Établir l’égalité Ker u = Ker (g-idE)
Je ne vois vraiment pas comment faire...? Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée
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Réponses
La question fait « découvrir » une base de E.
Il faut bien évidemment déterminer la matrice de \(u\) puis celle de \(g\) dans cette base.
Si c'est inversible, alors on essaye de se rapprocher de :
Pour $x$ réel distinct de $1$ : $1+x+x^2+x^3=\dfrac{1-x^4}{1-x}$.
C'est formel, ici.
On calcule donc, pour prendre ses précautions : $(id-u) \circ g$ et on espère trouver $id$.
Remarque :
J'ai failli écrire $\times$ au lieu de $\circ$ ce qui peut émouvoir un correcteur.
Dans la parenthèse j'avais écrit : $1-u$ au lieu de $id-u$, encore un message pour le correcteur : ::o
On suppose une relation $a P + b u(P) + cu^2(P) + d u^3(P)=0$.
On applique $u^3$, et il vient $a u^3(P)=0$, d'où $a = 0$.
Ainsi de suite en appliquant $u^2$, puis $u$, on trouve $a=b=c=d=0$, famille libre de 4 vecteurs dans un ev de dim 4 $\Longleftrightarrow$ base.
Montrons que $g$ est un automorphisme (merci Dom :-) !).
On écrit sa matrice dans la base $\big(P,u(P),u^2(P),u^3(P)\big)$.
C'est :
$A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
$.
Matrice triangulaire à coef diagonaux (merci Dom :-) !) $\neq 0$ $\Longleftrightarrow $ inversible.
Ainsi $g$ est un automorphisme de $E$.
On vérifie que $g^{-1}(Q) = Q - u(Q)$.
Dans la même base, cet endomorphisme correspond à $
A^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
\end{bmatrix}
$.
Pour la question 2.c
Soit $P$ tel que $\big(P,u(P),u^2(P),u^3(P)\big)$ est une base.
La matrice de $u$ dans cette base est :
$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$, donc $\ker(u) = vect\big(u^3(P)\big)$
La matrice de $g-Id$ dans la même base est :
$A-I =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$, et on trouve aussi $\ker(g-Id) = vect\big(u^3(P)\big)$
« $g$ est une base » :-S
« ... à coefficient diagonaux distincts de 0 »
Je fais le malin, mais j'étais en train de remplir des pages de brouillons...
Oh, mais oui je n'avais pas pensé ! Du coup cela me donne une matrice triangulaire supérieure inversible, donc g devient alors un endorphisme bijectif donc un automorphisme. Merc beaucoup pour votre aide !
Bonsoir Dom,
Merci pour votre aide, l'idée à l'air d'être superbe !
Bonsoir Marsup,
Un grand merci pour cette réponse détaillé, c'est très aimable de votre part, grâce à vous j'y vois plus clair !!
Bonne soirée.
À mon avis, en prépa éco, moins on fait de manipulations abstraites, plus on fait des calculs clairs à la place, et mieux on se porte.
Bonne journée à vous et encore merci.