Presque une isométrie
Bonjour,
je n'ai pas les idées bien claires, j'espère que ce message sera compréhensible.
On considère deux espaces vectoriels $E$ et $F$ tels que $\dim E \leq \dim F$ et $F$ est euclidien dont le produit scalaire est noté $(\cdot\mid\cdot)_F$.
En considérant une application linéaire injective $A\colon E\to F$, à partir du produit sclalaire sur $F$ je construis un produit scalaire sur $E$ de la manière suivante : pour tout $u$ et $v$ de $E$ : $(u\mid v)_E \overset{\mathrm{def.}}{=} (Au\mid Av)_F$. Je pense que c'est bien un produit scalaire car c'est clairement bilinéaire, symétrique et l'injectivité de $A$ assure la positivité.
Je pense que c'est correct mais j'aimerai avoir une confirmation.
Si c'est bon, cette construction porte-t-elle un nom ?
Dans le "sens inverse", si je trouve entre deux espaces euclidiens $E$ et $F$ une application linéaire $A$ telle que pour tout $u$ et $v$ de $E$ : $(u\mid v)_E = (Au\mid Av)_F$, est-ce que cette propriété porte un nom ? On ne parle d'isométrie seulement si $E = F$ il me semble.
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
je n'ai pas les idées bien claires, j'espère que ce message sera compréhensible.
On considère deux espaces vectoriels $E$ et $F$ tels que $\dim E \leq \dim F$ et $F$ est euclidien dont le produit scalaire est noté $(\cdot\mid\cdot)_F$.
En considérant une application linéaire injective $A\colon E\to F$, à partir du produit sclalaire sur $F$ je construis un produit scalaire sur $E$ de la manière suivante : pour tout $u$ et $v$ de $E$ : $(u\mid v)_E \overset{\mathrm{def.}}{=} (Au\mid Av)_F$. Je pense que c'est bien un produit scalaire car c'est clairement bilinéaire, symétrique et l'injectivité de $A$ assure la positivité.
Je pense que c'est correct mais j'aimerai avoir une confirmation.
Si c'est bon, cette construction porte-t-elle un nom ?
Dans le "sens inverse", si je trouve entre deux espaces euclidiens $E$ et $F$ une application linéaire $A$ telle que pour tout $u$ et $v$ de $E$ : $(u\mid v)_E = (Au\mid Av)_F$, est-ce que cette propriété porte un nom ? On ne parle d'isométrie seulement si $E = F$ il me semble.
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
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Réponses
Pour la deuxième notion, j'appelle ça une isométrie tout de même.
merci énormément pour vos réponses.
Quand Poirot dit $A(E)$ est-ce pour désigner $\mathrm{im} A$, l'image de $A$ ?
Effectivement, je n'ai pas pensé à faire mes recherches avec le mot clé "plongement". J'avais cherché des choses inutilement compliquées comme tiré en arrière (pull back) de produit scalaire.
Par simple curiosité, j'imagine qu'il est possible d'étendre cette construction au cas où $F$ est de dimension infinie.
Par contre je n'arrive pas à savoir si $F$ doit être complet (est-ce que pré-hilbertien suffit ou faut-il qu'il soit hilbertien ?) et l'application linéaire injective $A$ doit elle être continue ?
Encore un grand merci pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da
d'accord, merci beaucoup pour vos lumières. Je vais me renseigner sur les plongements isométriques pour ne pas rester trop ignorant.
Encore merci.
Cordialement,
Mister Da
on a vu qu'en considérant deux espaces vectoriels $E$ et $F$ tels que $\dim E \leq \dim F$ et $F$ est euclidien dont le produit scalaire est noté $(\cdot\mid\cdot)_F$ alors on peut munir $E$ d'un produit scalaire suivant de la manière suivante : pour tout $u$ et $v$ de $E$ : $(u\mid v)_E \overset{\mathrm{def.}}{=} (Au\mid Av)_F$ où $A\colon E\to F$ est une application linéaire injective.
Maintenant je souhaiterais faire la construction "duale"
Considérant deux espaces vectoriels $E$ et $F$ tels que $\dim E \geq \dim F$ et $E$ est euclidien dont le produit scalaire est noté $(\cdot\mid\cdot)_E$ alors on peut munir $F$ d'un produit scalaire suivant de la manière suivante : pour tout $u$ et $v$ de $F$ : $(u\mid v)_F \overset{\mathrm{def.}}{=} (A^*u\mid A^* v)_E$ où $A\colon E\to F$ est une application linéaire surjective.
Je pense que c'est bon car le fait que $A$ soit surjective implique que son adjoint $A^*$ est injectif et tout se passe comme le premier cas au final.
En dimension infinie, pour que $A^*$ soit injectif il n'est pas nécessaire que $A$ soit surjective, il me semble qu'il peut suffire que son image soit dense dans $F$ mais je ne suis pas certain de ce que j'avance.
Pourriez-vous me confirmer cela ?
Je vous remercie grandement par avance.
Cordialement,
Mister Da
désolé, j'ai mal lu le message de Poirot, je n'avais pas vu le mot "duaux". Si nous considérons $A\colon E\to F$ alors je note $A^*\colon F\to E$ l'adjoint (que je définis à l'aide des produits scalaires) et je note $A^\mathsf{T}\colon F^*\to E^*$ l'application tangente (que je définis à l'aide des crochets de dualité) qui est bien entre les duaux mais ici je ne m'en sers pas.
Je me trompe dans le vocabulaire ?
Cordialement,
Mister Da
Tu cherches à définir un produit scalaire sur $F$ et tu supposes déjà avoir un produit scalaire sur $F$ pour définir $A^*$ ("que je définis à l'aide des produits scalaires")? Ton histoire ne tient pas trop debout.
oupppps désolé ! Effectivement c'est complément débile ce que j'essaye de faire ! Je reprends tout à plat et je reviens avec une copie que j'espère plus potable.
J'ai écrit "application tangente" mais je voulais dire "application transpose" pour désigner l'application $F^*\to E^*$. Est-ce le bon terme ?
Merci beaucoup...
Cordialement,
Mister Da
bon je tente quelque chose.
On considère deux espaces vectoriels $E$ et $F$ tels que $\dim E \geq \dim F$ et $E$ est euclidien dont le produit scalaire est noté $(\cdot\mid\cdot)_E$.
En se donnant une application linéaire surjective $A\colon E\to F$, j'aimerais construire un produit scalaire sur $F$ noté $(\cdot\mid\cdot)_F$.
Pour cela je pense utiliser les espaces duaux $E^*$ et $F^*$ ainsi que l'application transpose $A^\mathsf{T}\colon E^*\to F^*$. Dans ce qui suit je vais noter $\langle\cdot\mid\cdot\rangle$ le crochet de dualité.
Je commence par prendre une forme linéaire $\nu_1\in F^*$ et un vecteur $f_2\in F$. Comme $A$ est surjective, il existe alors un vecteur $e_2\in E$ tel que $f_2 = Ae_2$ ainsi
\[
\langle\nu_1\mid f_2 \rangle = \langle\nu_1\mid Ae_2 \rangle = \langle A^\mathsf{T}\nu_1\mid e_2 \rangle
\]
où la dernière égalité est la définition même de $A^\mathsf{T}$. La forme linéaire $A^\mathsf{T}\nu_1\in E^*$ est associé à un vecteur noté $e_1\in E$ grâce au produit scalaire :
\[
\langle A^\mathsf{T}\nu_1\mid e_2 \rangle = (e_1\mid e_2)_E
\]
Je note $\iota$ cette application, ainsi $e_1 = \iota(A^\mathsf{T}\nu_1)$.
En appliquant $A$ sur le vecteur $e_1$ on obtient un vecteur noté $f_1 = Ae_1 = A\iota(A^\mathsf{T}\nu_1)$.
Je suis tenté de définir ainsi un produit scalaire en disant que $(f_1\mid f_2)_F \overset{\mathrm{def}}{=} \langle\nu_1\mid f_2 \rangle$. Mais le souci est qu'il existe des vecteurs $f\in F$ qui n'ont pas d'antécédent par $A\iota A^\mathsf{T}$ et donc pour lesquels le produit scalaire n'est pas défini...
Bref, je suis en train de douter de la faisabilité de la chose. Pensez-vous comme moi ? Est-ce que je peux néanmoins dire qu'on vient de construire un produit scalaire sur l'espace vectoriel $\mathrm{im} A\iota A^\mathsf{T}$
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
Si tu veux vraiment fabriquer un produit scalaire sur $F$ à partir d'un produit scalaire sur $E$ et d'une surjection $A: E\to F$, tu peux t'intéresser à $q : F\to \R$ défini par $q(v)=\inf\{(u\mid u) \ ;\ A(u)=v\}$.
$$
(f_1\mid f_2)_F = \frac{1}{2}[q(f_1+f_2) - q(f_1) - q(f_2) ]
$$
pour tout $f_1$ et $f_2$ de F.
Est-ce archi connue cette construction d'un produit scalaire à partir d'une surjection ? Je pose cette question car j'ai regardé dans des livres et sur internet et je n'ai pas trouvé ce que tu viens de me souffler à l'oreille... J'étais déjà fier comme un bar tabac d'avoir trouvé la construction à partir d'une injection mais j'ai l'impression de passer mon temps enfoncer des portes ouvertes...
Encore merci pour ton aide car j'aurais luzerné longtemps avec les crochets de dualité et tout.
Cordialement,
Mister Da
L'espace d'arrivée s'identifie donc, via $s$, au quotient de $E$ par $ker(f)$.
L'espace de départ $E$ est muni d'une structure euclidienne par hypothèse.
Le noyau $ker(s)$ admet donc un supplémentaire "canonique" : son supplémentaire orthogonal $\ker(f)^\perp$.
Ce supplémentaire hérite de la structure euclidienne ambiante.
L'image $F$ s'en voit munie elle aussi canoniquement, par le transport isomorphe via $s$.
La formule de GaBuZoMeu est effectivement très jolie ! Merci à lui !
Pour faire le lien avec la formule de GaBuZoMeu, pour chaque $v\in F$ on prend l'antécédent $u$ qui a la plus petite norme ce qui correspond à celui qui vit dans l'orthogonal du noyau (en gros on fait une projection orthogonale pour trouver le plus petit $u$ tel que $v=Au$) c'est ça ?
Désolé pour mes questions naïves et j'espère ne pas avoir raconté trop de bêtises.
Encore merci pour votre aide, en deux messages j'ai l'impression d'avoir fait un bon monumental en avant.
Cordialement,
Mister Da
Dans les prochains jours je vais remettre au propre cette discussion pour en garder une trace dans mon aide mémoire. Si j'ai du mal à formaliser certains passages je me permettrai de revenir ici.
Cordialement,
Mister Da
je reviens vers vous, pour une demande de précision et pour un calcul que j'essaye de faire.
Quand GaBuZoMeu écrit "inf" dans la définition de la fonction $q$, est-ce parce qu'on est pas sur que le $u$ optimal appartienne à $E$ ? Si tel est le cas, si je suppose que $E$ est complet, on peut remplacer le "inf" par "min" ?
Pour le calcul que j'essaye de faire je replante le décors. On fabrique $(\cdot\mid\cdot)_F$ un produit scalaire sur $F$ à partir de $(\cdot\mid\cdot)_E$ un produit scalaire sur $E$ et d'une surjection $A: E\to F$, de la manière suivante $(f_1\mid f_2)_F = \frac{1}{2}[q(f_1+f_2) - q(f_1) - q(f_2) ]$ pour tout $f_1$ et $f_2$ de F avec $q\colon F\to \R$ définie par $q(v)=\inf\{(u\mid u)_E \ ;\ A(u)=v\}$.
Maintenant, à l'aide de ces deux produits scalaires, je voulais m'amuser à voir ce que je pouvais écrire sur l'adjoint (par exemple dans mon premier problème où l'on définit un produit scalaire sur $E$ à l'aide du produit scalaire sur $F$ et d'une injection $A\colon E\to F$ de la manière suivante : $(u\mid v)_E = (Au\mid Av)_F$ on voit que pour tout $u\in E$ et tout $f\in F$ : $(Au\mid f)_F = (u\mid A^*f)_E = (Au\mid AA^*f)_F$ et de là j'en ai conclu que $AA^*=\mathrm{Id}_F$).
J'essaye d'expliciter le $u$ optimal dans la fonction $q(v)=\inf\{(u\mid u)_E \ ;\ A(u)=v\}$. Comme il s'agit d'une minimisation sous contrainte, j'ai pensé aux multiplicateurs de Lagrange, du coup pour un $v\in F$ fixé, j'ai défini un lagrangien
$$
L(u,\lambda) = (u\mid u)_E + (\lambda \mid Au - v)_F
$$
et je cherche quand la différentielle s'annule. Le calcul de cette différentielle me donne (je suppose $E$ réel pour ne pas à me prendre la tête avec les parties réelles dans les produits scalaires) :
$$\mathrm{d}_{(u,\lambda)} L(k,\ell) = (u\mid k)_E + (k\mid u)_E + (\lambda\mid Ak)_F + (\ell\mid Au-v)_F = (2u+A^*\lambda\mid k)_E + (\ell \mid Au-v)_F.$$
Comme cette quantité doit être nulle pour tout $k\in E$ et tout $\ell\in F$, j'en conclue que le couple $(u,\lambda)$ doit vérifier $Au-v=0$ et $u=-\frac{1}{2}A^*\lambda$.
Mais j'ai l'impression de me tromper, car si j'injecte le $u$ dans la contrainte je vais obtenir $\frac{1}{2}AA^*\lambda=-v$ alors que je m'attendais plutôt à faire apparaitre du $A^*A$ dans les calculs...
Je vous remercie pour le temps que vous me consacrez et pour avoir le courage de lire cette longue tartine.
Cordialement,
Mister Da
merci pour ta réponse. C'est justement la projection que je souhaite retrouver par mon calcul. Une telle projection doit s'écrire $A(A^*A)^{-1}A^*$ et ici j'intuitionne que $A^*A = \mathrm{Id}_E$ mais je ne m'en sors pas avec mon usine à gaz.
Pourrais-tu m'indiquer une meilleure direction dans laquelle partir ?
Cordialement,
Mister Da
Ce que tu écris ne va pas : comment veux-tu que $A^*A=\mathrm{Id}_E$ alors qu'a priori $A$ n'est pas injectif ?
Effectivement je n'ai pas réfléchi, comme dans mon premier problème j'obtenais $AA^* = \mathrm{Id}_F$, dans un élan irrationnel de fougue je me suis dit qu'ici $A^*A = \mathrm{Id}_E$
Autrement, à défaut d'être utile, est-ce que le calcul de minimisation sous contrainte est correct ?
Mille merci pour ta patience, je suis conscient d'être long à la détente.
Cordialement,
Mister Da
C'est faux !?
Problème 1
$E$ et $F$ deux espaces vectoriels réels tels que $\dim E \leq \dim F$ et $F$ euclidien avec $(\cdot\mid\cdot)_F$.
On définit un produit scalaire sur $E$ à l'aide du produit scalaire sur $F$ et d'une injection linéaire $A\colon E\to F$ de la manière suivante : $(u\mid v)_E = (Au\mid Av)_F$ on voit que pour tout
Pour tout $u,v \in E$ et tout $(u\mid v)_E = (Au\mid Av)_F = (A^*A u\mid v)_E$. J'en conclue que $A^*A = \mathrm{Id}_E$
Pour tout $u\in E$ et tout $f\in F$ : $(Au\mid f)_F = (u\mid A^*f)_E = (Au\mid AA^*f)_F$ ce qui veut dire $(Au\mid (\mathrm{Id}_F - AA^*) f)_F = 0$ c'est à dire que $\mathrm{im} (\mathrm{Id}_F - AA^*) = (\mathrm{im} A)^\perp$
De plus on constate que $(\mathrm{Id}_F - AA^*)\circ(\mathrm{Id}_F - AA^*) = (\mathrm{Id}_F - AA^*)$ j'en tire que $(\mathrm{Id}_F - AA^*)$ est la projection sur l'orthogonal de l'image de $A$ est donc que $AA^*$ est la projection orthogonale sur l'image de $A$.
Cette fois-ci ça me semble (enfin) bon.
Problème 2
$E$ et $F$ deux espaces vectoriels réels tels que $\dim E \geq \dim F$ et $E$ euclidien avec $(\cdot\mid\cdot)_E$.
On définit un produit scalaire sur $F$ à l'aide du produit scalaire sur $E$ et d'une surjection linéaire $A\colon E\to F$ de la manière suivante : $(f_1\mid f_2)_F = \frac{1}{2}[q(f_1+f_2) - q(f_1) - q(f_2) ]$ pour tout $f_1$ et $f_2$ de F avec $q\colon F\to \R$ définie par $q(v)=\inf_u\{(u\mid u)_E \ ;\ A(u)=v\}$.
J'essaye d'expliciter le $u$ optimal dans la fonction $q(v)=\inf\{(u\mid u)_E \ ;\ A(u)=v\}$. Comme il s'agit d'une minimisation sous contrainte, je dégaine les multiplicateurs de Lagrange (même si visiblement il y a une réserve sur ce point de la part de GaBuZoMeu), du coup pour un $v\in F$ fixé, je pose le lagrangien
$$
L(u,\lambda) = (u\mid u)_E + (\lambda \mid Au - v)_F
$$
et je cherche quand la différentielle s'annule. Le calcul de cette différentielle me donne :
$$\mathrm{d}_{(u,\lambda)} L(k,\ell) = (u\mid k)_E + (k\mid u)_E + (\lambda\mid Ak)_F + (\ell\mid Au-v)_F = (2u+A^*\lambda\mid k)_E + (\ell \mid Au-v)_F\ .$$
Comme cette quantité doit être nulle pour tout $k\in E$ et tout $\ell\in F$, j'en conclue que le couple optimal $(u_\text{opt},\lambda_\text{opt})$ doit vérifier $Au_\text{opt}-v=0$ (la contrainte ce qui n'a rien d'étonnant) et $u_\text{opt}=-\frac{1}{2}A^*\lambda_\text{opt}$.
En injectant l'un dans l'autre on a $\frac{1}{2}AA^*\lambda_\text{opt}=-v$ et comme $A$ est surjective, $AA^*$ est inversible et donc $\lambda_\text{opt}=-2(AA^*)^{-1}v$ ce qui implique que $u_\text{opt} = A^*(AA^*)^{-1}v$ et comme $v=Au$ on a donc $u_\text{opt} = A^*(AA^*)^{-1}Au$ qui est bien la projection sur l'orthogonal du noyau !
Ainsi, $q(v) = \inf_u\{(u\mid u)_E \ ;\ A(u)=v\} = (u_\text{opt}\mid u_\text{opt})_E = (A^*(AA^*)^{-1}v\mid A^*(AA^*)^{-1}v)_E = (v\mid (AA^*)^{-1}v)_F$. Pour la dernière égalité je pars du principe que $A^{**} = A$.
Le coup final arrive enfin, en repartant de la définition du produit scalaire : $(f_1\mid f_2)_F = \frac{1}{2}[q(f_1+f_2) - q(f_1) - q(f_2) ]$ et en injectant le fait que $q(v) = (v\mid (AA^*)^{-1}v)_F$ je trouve tout calcul fait que
$$(f_1\mid f_2)_F = (f_1\mid (AA^*)^{-1}f_2)_F$$
pour tout $f_1$ et $f_2$de $F$
J'en conclue que $AA^* = \mathrm{Id}_F$ et comme $A^*(AA^*)^{-1}A = A^*A$, l'opérateur $A^*A$ est la projection sur l'orthogonal du noyau.
Conclusion
Du coup tout est symétrique entre les deux problèmes (dans le premier cas on a $A^*A = \mathrm{Id}_E$ et $AA^*$ projection orthogonale sur l'image de $A$ et dans l'autre cas on a $AA^* = \mathrm{Id}_F$ et $A^*A$ projection orthogonale sur l'orthogonal du noyau de $A$).
C'est tellement beau que ça ne peut que être vrai... à moins que vous y voyez une faute qui fait dégonfler toute ma joie.
Je vous remercie pour le temps que vous me consacrez et pour avoir le courage de lire cette longue tartine.
Cordialement,
Mister Da