Schwarz vectoriel

P.
P.
dans Algèbre
$(X,\mu)$ est un espace mesuré $a,b: X\rightarrow \R^n$ sont de carrés de norme intégrable. Je forme les 3 matrices carrées $$A=\int_X\big(a_i(x)a_j(x)\big)_{1\leq i,j\leq n}\mu(dx), \quad B=\int_X\big(b_i(x)b_j(x)\big)_{1\leq i,j\leq n}\mu(dx), \quad C=\int_X\big(a_i(x)b_j(x)\big)_{1\leq i,j\leq n}\mu(dx).$$ Peut-on dire que la matrice
$$AB+BA-CC^T-C^TC$$ est semi-définie positive ?
Je sèche.

Réponses

  • marco
    marco
    Bonjour,

    Si $X$ est un singleton, la question devient: soit $a,b \in \R^n$, est-ce que pour tout $x \in \R^n$, on a $2(x \mid a)(a \mid b)(b \mid x) \geq (x \mid a)(b \mid b)(a \mid x)+(x \mid b)(a \mid a)(b \mid x)$ ?
    C'est faux dès que $(a \mid b)=0$ et $x=a+b$, et $a \neq 0$, $b \neq 0$.
  • P.
    P.
    Merci Marco. Ma fausse demonstration etait basee sur
    $$(a\otimes b_1-b\otimes a_1)^2=(a\otimes a)(b_1\otimes b_1)+(b\otimes b)(a_1\otimes a_1)-(a\otimes b)(b_1\otimes a_1)-(b\otimes a)(a_1\otimes b_1)$$ et je commettais l'erreur subtile de penser que l'endomorphisme symetrique $$\int_{X^2}(a(x)\otimes b(y)-b(x)\otimes a(y))^2\mu(dx)\mu(dy)$$ etait semi defini positif.
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