Groupe fini et relation d'équivalence
Bonjour
$G$ est un groupe fini. et on définit la relation d'équivalence : $a,b \in G$, $$aRb \Longleftrightarrow \exists g \in G,\ gag^{-1} = b
$$ a) on demande de montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.
Ici, on montre la transitivité, réflexivité et symétrie
b) On demande de montrer que $\ C_G(a)=\{g\in G \mid gag^{-1}=a\}\ $ est un sous-groupe de $G$.
Cela ne pose pas de problème je pense.
c) Soit $[a]_R$, le classe d'équivalence de $a$.
On doit montrer que le cardinal de $[a]_R = [G : C_G(a)]$.
On pourra utiliser $f_a : G \rightarrow [a]_R,\ g \mapsto gag^{-1}$ et la relation $R_{f_a}$ telle que $g_1R_{f_a}g_2 \Longleftrightarrow f_a(g_1) = f_a(g_2)$
Comment faire ?
$G$ est un groupe fini. et on définit la relation d'équivalence : $a,b \in G$, $$aRb \Longleftrightarrow \exists g \in G,\ gag^{-1} = b
$$ a) on demande de montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence.
Ici, on montre la transitivité, réflexivité et symétrie
b) On demande de montrer que $\ C_G(a)=\{g\in G \mid gag^{-1}=a\}\ $ est un sous-groupe de $G$.
Cela ne pose pas de problème je pense.
c) Soit $[a]_R$, le classe d'équivalence de $a$.
On doit montrer que le cardinal de $[a]_R = [G : C_G(a)]$.
On pourra utiliser $f_a : G \rightarrow [a]_R,\ g \mapsto gag^{-1}$ et la relation $R_{f_a}$ telle que $g_1R_{f_a}g_2 \Longleftrightarrow f_a(g_1) = f_a(g_2)$
Comment faire ?
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Réponses
Il suffit de prouver que \(f_a\) est surjective, puis d'utiliser le principe des bergers : tous les moutons éléments de \([a]_R\) ont le même nombre de pattes d'antécédents ; pour dénombrer les moutons éléments de \([a]_R\), on compte les pattes antécédents et on effectue la division adéquate.
J'ai déjà vu que $[G : C_G(a)]$ désigne le quotient entre $card(G)$ et $card(C_G(a))$
On est bien d'accord que $[a]_R=\{b\in G \mid aRb\}$ ?
En quelque sorte il faut montrer que chaque élément de $[a]_R$ possède $card(C_G(a))$ antécédents par $f_a$ dans $G$.
Comment ?
Démontrons que $\phi$ est surjective.
Soit $b \in [a]_R$, il existe $g \in G$ tel que $b = gag^{-1}$ et $g \pmod {C_G(a)} \in G/C_G(a)$
Donc pour tout $b \in [a]_R$, il existe $\overline{g}\in G/C_G(a)$ tel que $\phi(\overline{g})=b$
Donc $\phi$ est surjective
Démontrons que $\phi$ est injective
Soit $\overline {g} \in \ker \phi$ alors $gag^{-1}=0$
Je ne vois pas comment continuer ?
Est-ce vraiment nécessaire de prouver que $\phi$ est définie ?
Oui, il est nécessaire de prouver que $\phi$ est bien définie, puisque l'on parle d'un relèvement de $\overline{g}$ dans $G$ pour définir $\phi(\overline{g})$ !
Montrons que $\phi$ est injective :
soit $b \in [a]_R$,
On suppose qu'il existe $\overline{g}, \overline{h} \in G/C_G(a)$ tel que $\phi(\overline{g})=\phi(\overline{h})=b$
soit $gag^{-1}=hah^{-1}$
soit $h^{-1}gag^{-1}h=a$
donc $h^{-1}g \in C_G(a)=\{g\in G \mid gag^{-1}=a\}\ $
donc $\overline{h^{-1}g}=e_{G/C_G(a)}$
donc $\overline{h^{-1}}\overline{g}=e_{G/C_G(a)}$ (j'espère que l'on peut l'écrire)
donc $\overline{h}\overline{h^{-1}}\overline{g}=\overline{h}e_{G/C_G(a)}$
donc $\overline{g}=\overline{h}$
Donc chaque élément de $[a]_R$ possède au plus un antécédent donc $\phi$ est injective.
bon?
Pour montrer que $\phi$ est bien définie :
Il faut prouver que tout élément de $G/C_G(a)$ possède une unique image dans $[a]_R$.
Soit $\overline{g} \in G/C_G(a)$
On suppose qu'il existe $h \in G$ tel que $\overline{g}=\overline{h}$.
On veut montrer que $gag^{-1}=hah^{-1}$
comment faire?
Pour l'injectivité, tu raisonnes comme si $G/C_G(a)$ était muni d'une structure de groupe, encore une fois, cela n'a aucune raison d'être le cas ! Donc il ne faut pas parler de multiplication de classes (quand tu écris $\overline{h^{-1}} \overline{g}$), ni du neutre de ce quotient (ce que tu appelles $e_{G/C_G(a)}$). Il suffit d'écrire les définitions, une fois que tu as obtenu $h^{-1}g \in C_G(a)$, tu as fini, cela veut dire que $\overline{g}=\overline{h}$ par définition de $G/C_G(a)$.
Pour montrer que $\phi$ est bien définie, pareil, il suffit d'écrire la définition de $\overline{g}=\overline{h}$ et le reste coule tout seul.
$h~g $ si et seulement si $h^{-1}g \in H$ avec $H$ un sous-groupe de $G$
C'est donc cela qui permet d'écrire $\overline{h}=\overline{g}$ dans $G/H$?
Pour montrer que $\phi$ est bien définie :
Soit $\overline{g} \in G/C_G(a)$
On suppose qu'il existe $h \in G$ tel que $\overline{g}=\overline{h}$.
Donc $g^{-1}h \in C_G(a)$ et $h^{-1}g \in C_G(a)$
$g^{-1}hah^{-1}g =a$
soit $hah^{-1} =gag^{-1}$
Donc pour tout $g, h \in G$ si $\overline{g}=\overline{h}$ alors $\phi(g)=\phi(h)$
$\phi$ est donc bien définie.
On en conclut que $G/C_G(a)$ et $[a]_R$ ont le même nombre d'éléments et donc que $Card [a]_R = [G : C_G(a)]$.
Je voudrai recommencer cette question avec ce qui était suggéré dans l'énoncé :
On pourra utiliser $f_a : G \rightarrow [a]_R,\ g \mapsto gag^{-1}$ et la relation $R_{f_a}$ telle que $g_1R_{f_a}g_2 \Longleftrightarrow f_a(g_1) = f_a(g_2)$
d) on demande de calculer
$C_{S_5}((123))$
e) On demande de calculer le nombre de 3-cycle dans $S_5$ et de vérifier qu'il coïncide avec $[S_5:C_{S_5}((123))]$
La relation d'équivalence donnée est exactement celle correspondant au quotient $G/C_G(a)$ ! Tu as donc résolu la question comme attendu, avec un vocabulaire un tout petit peu différent (mais bien mieux adapté à l'étude des groupes).
Pour la d), connais-tu l'effet d'une conjugaison sur un cycle dans $\mathfrak S_n$ ? C'est-à-dire, connais-tu le résultat de $\sigma (a_1 \dots a_k) \sigma^{-1}$ ?
$f_a : G \rightarrow [a]_R,\ g \mapsto gag^{-1}$ et la relation $R_{f_a}$ telle que $g_1R_{f_a}g_2 \Longleftrightarrow f_a(g_1) = f_a(g_2)$ :
$f_a$ est clairement définie (une valeur de $G$ ne peut pas avoir plusieurs images par $f_a$)
mais après?
d) pour moi, $C_{S_5}((123))$ n'a que 2 éléments : $Id, (45)$. comment le prouver?
d) Tu ne risques pas de le prouver puisque c'est faux, il te manque des éléments ! Répond à la question que je t'ai posée : que vaut $\sigma (a_1 \dots a_k) \sigma^{-1}$ ?
Soit $b \in [a]_R$
On suppose qu'il existe $g_1,g_2 \in G$ tel que $f_a(g_1) = f_a(g_2) = b$
soit $g_1ag_1^{-1}= g_2ag_2^{-1}$
soit $g_2^{-1}g_1ag_1^{-1}g_2= a$
donc $g_2^{-1}g_1 \in C_G(a) $
donc $\overline{g_2}=\overline{g_1}$ dans $G/C_G(a)$
Donc pour tout élément $ b \in [a]_R$, il existe un unique élément $\overline{g} \in G/C_G(a)$ tel que $gag^{-1}=b$
Ce qui signifie que $[a]_R$ et $G/C_G(a)$ ont le même cardinal
d) $\sigma (a_1 \dots a_k) \sigma^{-1}=(\sigma (a_1) \dots \sigma (a_k)) $
j'ai du mal à comprendre la formule.
Par exemple :
$(12)(123)(12)=(213)?$
e) Pour le nombre de 3-cycle dans $S_5$, j'ai trouvé 20.
J'ai considéré le nombre de combinaison de $3$ éléments dans $5$ qui a donné $10$ puis j'ai déterminé que chaque combinaison pouvait former deux 3-cycles.
d) Oui c'est ça ! Quand on conjugue un cycle par une permutation, on se retrouve avec le cycle permuté. Il te reste à déterminer les permutations qui laissent stable le cycle $(123)$ dans $\mathfrak S_5$.
J'ai déjà considéré que $(123)=(312)=(231)$
Donc puisque je recherche les permutations $\sigma$ vérifiant :
$\sigma (123) \sigma^{-1}=(\sigma (1) \sigma (2) \sigma (3))=(123)$
alors il faut chercher les permutations telles que :
$\sigma (1)=1$ et $ \sigma (2)=2 $ et $\sigma (3)=3$
ou
$\sigma (1)=3$ et $ \sigma (2)=1 $ et $\sigma (3)=2$
ou
$\sigma (1)=2$ et $ \sigma (2)=3 $ et $\sigma (3)=1$
Il y a donc :
$(12345) \mapsto (12345) $
$(12345) \mapsto (12354) $
$(12345) \mapsto (31245) $
$(12345) \mapsto (31254) $
$(12345) \mapsto (23145) $
$(12345) \mapsto (23154) $
$C_{S_5}((123))$ contient donc ces 6 permutations.
Est-ce juste?
e) Le nombre de 3-cycle dans $\mathfrak S_5$ est 20 d'après mon raisonnement précédent.
On peut en déduire que la classe d'équivalence de $(123)$ est $[(123)]_R$ qui a pour cardinal $20$.
$[S_5:C_{S_5}((123))]$ est le quotient entre le $card(S_5)$ et $card(C_{S_5}((123)))=6$.
On devrait donc avoir $card(S_5)=120$?
D'où vient ton "on peut en déduire que la classe d'équivalence de $(123)$ [...] est de cardinal $20$" ? Il faut donner les arguments. Ensuite attention à ce que tu dis, $[\mathfrak S_5:C_{\mathfrak S_5}((123))]$ est un ensemble, il ne saurait être le quotient de deux nombres entiers. EDIT : j'ai fumé.
Enfin, tu ne connais pas le cardinal de $\mathfrak S_n$ ?
D'où vient ton "on peut en déduire que la classe d'équivalence de $(123) [...]$ est de cardinal $20$" ?
Pour tout 3-cycle $ (abc) \in \mathfrak S_5$, il existe $\sigma \in \mathfrak S_5$ tel que $\sigma (123) \sigma^{-1}=(abc)$ d'après la formule de conjugaison.
D'autre part, pour tout $\sigma \in \mathfrak S_5$, $\sigma (123) \sigma^{-1}$ est un 3-cycle.
Donc le nombre de 3-cycle dans $\mathfrak S_5$ est le même que le nombre d'élément dans la classe d'équivalence de $(123)$.
J'ai vu dans un cours que l'on peut noter $[G:H]$ le nombre $card(G)/card(H)$ qui est aussi le nombre d'élément de $G/H$ avec $G$ groupe fini et $H$ un sous-groupe (d'après th de Lagrange)?
Après recherche, le cardinal de $\mathfrak S_n$ est $n!$ donc $card(\mathfrak S_5)$ est bien $120$.
Pardon je t'ai une bêtise, j'avais retiré les crochets de ma vue ! Ta notation avec les crochets est bien la notation standard de l'indice, c'est-à-dire du cardinal du quotient.
Pour la notation en produit de cycles du centralisateur de $(123)$ dans $\mathfrak S_5$, il y a $id$, $(123)$, $(132)$, $(45)$, $(123)(45)=(45)(123)$ et $(132)(45)=(45)(132)$ (dans les deux derniers cas, les cycles commutent car ils sont à supports disjoints).
Ça me semble tout bon maintenant ;-)