Par exemple, si je dois résoudre l'équation $x^2+x-6$. Alors $x = 2$ est solution évidente et comme le produit des deux solutions est $-6$ l'autre solution est $-3$.
On se donne $a,b,c,z_1,z_2\in\C$ et on suppose que $a\ne0$.
Supposons que $z_1+z_2=-b/a$ et $z_1z_2=c/a$. Alors $z_2=-b/a-z_1$ et $z_1(-b/a-z_1)=c/a$. Après produit par $a$, développement du membre de gauche et regroupement de tous les termes dans le même membre, on trouve $az_1^2+bz_1+c=0$. En échangeant le rôle de $z_1$ et $z_2$, on prouve que $az_2^2+bz_2+c=0$.
Réciproquement, supposons que pour $k\in\{1,2\}$, on ait $az_k^2+bz_k+c=0$. En désignant par $z$ l'un des deux complexes $z_1$ et $z_2$, on a [az^2+bz+c=a\left[z^2+\frac{b}az+\frac{c}a\right]
=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right].\]Le complexe $\Delta=b^2-4ac$ admet une racine carrée $\delta\in\C$ (s'il n'est pas nul, il en admet même deux, opposées l'une de l'autre) et donc [0=az^2+bz+c=a\left(z-\frac{-b+\delta}{2a}\right)\left(z-\frac{-b-\delta}{2a}\right).\]Les deux solutions cherchées sont donc $\frac{-b\pm\delta}{2a}$ (scoop !). On calcule leur somme et leur produit :\begin{align*}z_1+z_2&=\frac{-b+\delta}{2a}+\frac{-b-\delta}{2a}=-\frac{b}{a}\\
z_1z_2&=\frac{-b+\delta}{2a}\times\frac{-b-\delta}{2a}=\frac{(-b)^2-\delta^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.\end{align*}
Si $az_k^2+bz_k+c=0$, pour $k \in \{1,2\}$, alors
$$
az_1^2+bz_1+c -(az_2^2+bz_2+c) = 0
$$
D'où
$$
(z_1-z_2)(a(z_1+z_2)+b)= 0
$$
C'est casse-pied. Je suis obligé de distinguer $z_1 = z_2$ et $z_1 \ne z_2$.
Une application simple pour étinceler en société, promis, les places vont s'arracher pour venir te voir réaliser l'exploit. : tu demandes à un quidam de penser à deux complexes qu'il garde secrets. Il te révèle juste leur somme et leur produit (il a fait un bas avec un peu de science à l'intérieur). Et toi, shtam, tu les trouves car tu as suivi un cours sur le second degré et que tu t'en rappelles, alors que ce n'est pas le cas de la plupart des spectateurs (mais qu'ils se rappellent quand même comment calculer avec les complexes, super réaliste la situation).
Si \(az_0^2+bz_0+c=0\), alors
\[az^2+bz+c=0 \iff (az^2+bz+c)-(az_0^2+bz_0+c)=0 \iff (z-z_0)(a(z+z_0)+b)=0\]
donc les deux racines de l'équation sont \(z_0\) et \(-z_0-b/a\), qui satisfont:
\begin{align} z_0+\left(-z_0-\frac ba\right) &= -\frac ba & z_0\left(-z_0-\frac ba\right) &= \frac{-az_0^2-bz_0}{a} = \frac ca \end{align}
Si \(z_1+z_2=-b/a\) et \(z_1z_2=c/a\), alors \(z_1\) et \(z_2\) sont les deux racines de l'équation
\[(z-z_1)(z-z_2)=0 \iff z^2-(-z_1+z_2)z+z_1z_2=0 \iff \dots\]
Réponses
Par exemple, si je dois résoudre l'équation $x^2+x-6$. Alors $x = 2$ est solution évidente et comme le produit des deux solutions est $-6$ l'autre solution est $-3$.
Supposons que $z_1+z_2=-b/a$ et $z_1z_2=c/a$. Alors $z_2=-b/a-z_1$ et $z_1(-b/a-z_1)=c/a$. Après produit par $a$, développement du membre de gauche et regroupement de tous les termes dans le même membre, on trouve $az_1^2+bz_1+c=0$. En échangeant le rôle de $z_1$ et $z_2$, on prouve que $az_2^2+bz_2+c=0$.
Réciproquement, supposons que pour $k\in\{1,2\}$, on ait $az_k^2+bz_k+c=0$. En désignant par $z$ l'un des deux complexes $z_1$ et $z_2$, on a
=a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right].\]Le complexe $\Delta=b^2-4ac$ admet une racine carrée $\delta\in\C$ (s'il n'est pas nul, il en admet même deux, opposées l'une de l'autre) et donc
z_1z_2&=\frac{-b+\delta}{2a}\times\frac{-b-\delta}{2a}=\frac{(-b)^2-\delta^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.\end{align*}
$$
az_1^2+bz_1+c -(az_2^2+bz_2+c) = 0
$$
D'où
$$
(z_1-z_2)(a(z_1+z_2)+b)= 0
$$
C'est casse-pied. Je suis obligé de distinguer $z_1 = z_2$ et $z_1 \ne z_2$.
c'est clairement pas une question d'analyse (:P)
Une application simple pour étinceler en société, promis, les places vont s'arracher pour venir te voir réaliser l'exploit. : tu demandes à un quidam de penser à deux complexes qu'il garde secrets. Il te révèle juste leur somme et leur produit (il a fait un bas avec un peu de science à l'intérieur). Et toi, shtam, tu les trouves car tu as suivi un cours sur le second degré et que tu t'en rappelles, alors que ce n'est pas le cas de la plupart des spectateurs (mais qu'ils se rappellent quand même comment calculer avec les complexes, super réaliste la situation).
Badaboum. Effet garanti.
Si \(az_0^2+bz_0+c=0\), alors
\[az^2+bz+c=0 \iff (az^2+bz+c)-(az_0^2+bz_0+c)=0 \iff (z-z_0)(a(z+z_0)+b)=0\]
donc les deux racines de l'équation sont \(z_0\) et \(-z_0-b/a\), qui satisfont:
\begin{align} z_0+\left(-z_0-\frac ba\right) &= -\frac ba & z_0\left(-z_0-\frac ba\right) &= \frac{-az_0^2-bz_0}{a} = \frac ca \end{align}
\[(z-z_1)(z-z_2)=0 \iff z^2-(-z_1+z_2)z+z_1z_2=0 \iff \dots\]
je tiens à remercier tout le monde