Éléments inversibles

Ce que tu notes $\newcommand{\radd}{\mathop{\mathrm{rad}}}\radd(A)$, c'est bien le radical de Jacobson, n'est-ce pas ? La caractérisation indiquée devrait être utile : $x\in\radd(A)$ SSI $\forall a\in A,\ 1+ax$ inversible.

On procède par double inclusion parce qu'il y a un sens trivial : si $u\in R^\times$ est un inversible, il me semble facile de montrer que $\pi(u)$ est inversible dans le quotient.

Réciproquement, on fixe un élément $u$ dont l'image par $\pi$ est inversible. Cela signifie qu'il existe $\mathbf{v}\in (R/\radd(A))^\times$ tel que $\pi(u)\mathbf{v}=1$. Soit $v\in R$ un représentant de $\mathbf{v}$ dans $R$ (un antécédent par $\pi$). Autrement dit, il existe $x\in\radd(A)$ tel que $uv$ etc.

OK pour le premier paragraphe.

Attention, comme $\pi$ n'est pas bijectif, $\pi^{-1}(\pi(u))$ n'est pas un élément de $R$ mais l'ensemble des antécédents de $\pi(u)$ par $\pi$. Pour conclure le sens direct, il suffit de se rappeler l'équivalence : $u\in\pi^{-1}(B)$ SSI $\pi(u)\in B$ (ici, on prend $B=(R/\mathrm{rad}(A))^\times$).

Pour le sens réciproque, il faut « relever dans $R$ » l'égalité $\pi(u)\pi(v)=\mathbf{1}\in R/\mathrm{rad}(A)$. Cela veut dire que $\pi(uv-1)=\mathbf{0}$, c'est-à-dire $uv-1\in\ker\pi$. Posant $x=uv-1$, on a donc : $x\in \mathrm{rad}(A)$. On peut aussi écrire : $uv=1+x$ avec $x\in\mathrm{rad}(A)$.

Ce n'est pas de la bêtise évidemment.

Un zeste de recul... Constate que jusque là, on n'a utilisé aucune propriété du radical : avec n'importe quel idéal, on serait arrivé au même point. Il va bien falloir utiliser quelque chose à un moment.

On a donc $uv=1+x$ avec $x\in\mathrm{rad}(A)$. Qu'en déduit-on sur $1+x$ ? Pourquoi est-ce que ça nous dit que $u$ est inversible ?

Eh bien voilà (avec $w=(1+x)^{-1}$) !