Équation du dimanche

En tout cas Il n'y a pas de solutions avec $1 \leq x \leq y \leq 2000$, dixit Python.

C'est joli quand même !

@gai requin: Pour le problème initial, tu as quelques solutions « parasites » où au moins un des dénominateurs s'annule : $(x+y)(y+z)(z+x)=0$.

Plus important : est-ce que tu es sûr d'avoir toutes les solutions ?

Hello
Six points triviaux sur la courbe $C$ de $\mathbb P^2$ (celle de Gai requin)

[ (-1 : 1 : 0), (-1 : 1 : 1), (-1 : 0 : 1), (-1 : -1 : 1), (0 : -1 : 1), (1 : -1 : 1) ]

Parmi ces points, les trois points de la courbe $C$ ayant une coordonnée nulle sont d'inflection. Appui possible pour mise sous forme de Weierstrass via un $\Q$-isomorphisme linéaire de $\mathbb P^2$.

Obtention d'une courbe elliptique (point base un point d'inflection de $C$). Cremona Reference 910c1, conducteur 910, groupe de Mordell-Weil $\langle a,b\rangle = \Z/6\Z \oplus \Z$. Donc une infinité de points rationnels -> solutions entières. La 6-torsion est constituée des 6 points triviaux ci-dessus.

Le générateur (= un des deux) du facteur $\Z$, son double puis quelques multiples

> EtoC(b) ;
(-1/11 : 4/11 : 1)  // generator

> EtoC(2*b) ;
(-8784/5165 : 9499/5165 : 1)

> [EtoC(k*b) : k in [3..8]] ;
[ (-375326521/883659076 : 679733219/883659076 : 1), (-6531563383962071/6334630576523495 : 
6696085890501216/6334630576523495 : 1), (-2798662276711559924688956/5048384306267455380784631 : 
5824662475191962424632819/5048384306267455380784631 : 1), 
(-399866258624438737232493646244383709/434021404091091140782000234591618320 : 
287663048897224554337446918344405429/434021404091091140782000234591618320 : 1), 
(-678266970930133923578916161648350398206354101381/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 
3386928246329327259763849184510185031406211324804/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 1), 
(-2054217703980198940765993621567260834791816664149006217306067776/2110760649231325855047088974560468667532616\
164397520142622104465 : 343258303254635343211175484588572430575289938927656972201563791/2110760649231325855047\
088974560468667532616164397520142622104465 : 1) ]

En Sage. (J'ai triché en empruntant un point d'inflexion à Claude Quitté).
In :

R.<u,v,w>=PolynomialRing(QQ,'u,v,w')
F=(u/(v+w)+v/(w+u)+w/(u+v)-4).numerator()
f=EllipticCurve_from_cubic(F,[-1,1,0],morphism='true')
f

Out :

Scheme morphism:
  From: Closed subscheme of Projective Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  u^3 - 3*u^2*v - 3*u*v^2 + v^3 - 3*u^2*w - 5*u*v*w - 3*v^2*w - 3*u*w^2 - 3*v*w^2 + w^3
  To:   Elliptic Curve defined by y^2 + 3*x*y - 91/6*y = x^3 + 43/2*x^2 - 91/4*x - 8281/216 over Rational Field
  Defn: Defined on coordinates by sending (u : v : w) to
        (-1/6*w : v + 1/6*w : 6/91*u + 6/91*v - 1/91*w)

In :

g=f.inverse()
E=g.domain()
g

Out :

Scheme morphism:
  From: Elliptic Curve defined by y^2 + 3*x*y - 91/6*y = x^3 + 43/2*x^2 - 91/4*x - 8281/216 over Rational Field
  To:   Closed subscheme of Projective Space of dimension 2 over Rational Field defined by:
  u^3 - 3*u^2*v - 3*u*v^2 + v^3 - 3*u^2*w - 5*u*v*w - 3*v^2*w - 3*u*w^2 - 3*v*w^2 + w^3
  Defn: Defined on coordinates by sending (x : y : z) to
        (-2*x - y + 91/6*z : x + y : -6*x)

In :

G=E.gens()
P=G[0]
P

Out :

(-143/6 : 455/6 : 1)

In :

L=[g(n*P) for n in range(10)]
L

Out :

[(-1 : 1 : 0),
 (-1/11 : 4/11 : 1),
 (-8784/5165 : 9499/5165 : 1),
 (-375326521/883659076 : 679733219/883659076 : 1),
 (-6531563383962071/6334630576523495 : 6696085890501216/6334630576523495 : 1),
 (-2798662276711559924688956/5048384306267455380784631 : 5824662475191962424632819/5048384306267455380784631 : 1),
 (-399866258624438737232493646244383709/434021404091091140782000234591618320 : 287663048897224554337446918344405429/434021404091091140782000234591618320 : 1),
 (-678266970930133923578916161648350398206354101381/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 3386928246329327259763849184510185031406211324804/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 1),
 (-2054217703980198940765993621567260834791816664149006217306067776/2110760649231325855047088974560468667532616164397520142622104465 : 343258303254635343211175484588572430575289938927656972201563791/2110760649231325855047088974560468667532616164397520142622104465 : 1),
 (36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579/4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 : 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999/4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 : 1)]

In :

L[9].clear_denominators()
a=L[9][0]
b=L[9][1]
c=L[9][2]
a,b,c

Out :

(36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,
 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,
 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036)

In :

a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)

Out :

4

Bonjour à tous,

Je ne doute pas du résultat trouvé.
Mais j'ai une question (plutôt à poser sous le forum "informatique" ...) : avec quelles tolérances est livré Sage ?
Je veux dire, quelles sont les valeurs pour lesquelles on peut assurer que la valeur renvoyée est une valeur exacte ? (je parle du 4)

Est-ce comme pour les calculatrices standards (mais avec une meilleure capacité qu'une quinzaine de chiffres) ?
Le logiciel sait-il s'il se trompe ? Sait-il avertir s'il ne peut pas assurer la valeur exacte ?

@Dom : Sage, comme les autres logiciels de calcul formel, ne fait pas de calcul approché quand il travaille avec des entiers de précision arbitraire : quand il répond 4, ce n'est pas à $10^{-1789}$ près, c'est vraiment 4. La valeur renvoyée est toujours une valeur exacte.
Bien sûr, il y a toujours la possibilité d'un bug ...