Équation du dimanche
Réponses
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Une illustration :
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En tout cas Il n'y a pas de solutions avec $1 \leq x \leq y \leq 2000$, dixit Python.
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> P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(Rationals(), 2); > C0 := Curve(P2,x*(x+y)*(x+z)+y*(y+x)*(y+z)+z*(z+x)*(z+y)-4*(x+y)*(x+z)*(y+z)); > RationalPoints(C0); {@ (-1 : 0 : 1), (-1/11 : 4/11 : 1), (-1 : 1 : 0), (-9/5 : -11/5 : 1), (9/11 : -5/11 : 1), (11/4 : -1/4 : 1), (-4 : -11 : 1), (4/11 : -1/11 : 1), (-11 : -4 : 1), (-11/5 : -9/5 : 1), (0 : -1 : 1), (-1 : 1 : 1), (-5/9 : 11/9 : 1), (-1 : -1 : 1), (-5/11 : 9/11 : 1), (11/9 : -5/9 : 1), (-1/4 : 11/4 : 1), (1 : -1 : 1) @}
A priori, pas de solutions avec trois entiers naturels.
Mais par exemple, $(-1,4,11)$ est solution. -
C'est joli quand même !
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Avec 35, 132 et 627, on n'est pas loin :
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@Math Coss : Je n'ai rien prouvé.
J'ai simplement utilisé l'ordinateur comme conseillé par Guego.
Maintenant, si tu as d'autres solutions que celles données par magma, je suis preneur. ;-) -
Hello
Six points triviaux sur la courbe $C$ de $\mathbb P^2$ (celle de Gai requin)
[ (-1 : 1 : 0), (-1 : 1 : 1), (-1 : 0 : 1), (-1 : -1 : 1), (0 : -1 : 1), (1 : -1 : 1) ]
Parmi ces points, les trois points de la courbe $C$ ayant une coordonnée nulle sont d'inflection. Appui possible pour mise sous forme de Weierstrass via un $\Q$-isomorphisme linéaire de $\mathbb P^2$.
Obtention d'une courbe elliptique (point base un point d'inflection de $C$). Cremona Reference 910c1, conducteur 910, groupe de Mordell-Weil $\langle a,b\rangle = \Z/6\Z \oplus \Z$. Donc une infinité de points rationnels -> solutions entières. La 6-torsion est constituée des 6 points triviaux ci-dessus.
Le générateur (= un des deux) du facteur $\Z$, son double puis quelques multiples
> EtoC(b) ; (-1/11 : 4/11 : 1) // generator > EtoC(2*b) ; (-8784/5165 : 9499/5165 : 1) > [EtoC(k*b) : k in [3..8]] ; [ (-375326521/883659076 : 679733219/883659076 : 1), (-6531563383962071/6334630576523495 : 6696085890501216/6334630576523495 : 1), (-2798662276711559924688956/5048384306267455380784631 : 5824662475191962424632819/5048384306267455380784631 : 1), (-399866258624438737232493646244383709/434021404091091140782000234591618320 : 287663048897224554337446918344405429/434021404091091140782000234591618320 : 1), (-678266970930133923578916161648350398206354101381/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 3386928246329327259763849184510185031406211324804/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 1), (-2054217703980198940765993621567260834791816664149006217306067776/2110760649231325855047088974560468667532616\ 164397520142622104465 : 343258303254635343211175484588572430575289938927656972201563791/2110760649231325855047\ 088974560468667532616164397520142622104465 : 1) ]
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En Sage. (J'ai triché en empruntant un point d'inflexion à Claude Quitté).
In :R.<u,v,w>=PolynomialRing(QQ,'u,v,w') F=(u/(v+w)+v/(w+u)+w/(u+v)-4).numerator() f=EllipticCurve_from_cubic(F,[-1,1,0],morphism='true') f
Out :Scheme morphism: From: Closed subscheme of Projective Space of dimension 2 over Rational Field defined by: u^3 - 3*u^2*v - 3*u*v^2 + v^3 - 3*u^2*w - 5*u*v*w - 3*v^2*w - 3*u*w^2 - 3*v*w^2 + w^3 To: Elliptic Curve defined by y^2 + 3*x*y - 91/6*y = x^3 + 43/2*x^2 - 91/4*x - 8281/216 over Rational Field Defn: Defined on coordinates by sending (u : v : w) to (-1/6*w : v + 1/6*w : 6/91*u + 6/91*v - 1/91*w)
In :g=f.inverse() E=g.domain() g
Out :Scheme morphism: From: Elliptic Curve defined by y^2 + 3*x*y - 91/6*y = x^3 + 43/2*x^2 - 91/4*x - 8281/216 over Rational Field To: Closed subscheme of Projective Space of dimension 2 over Rational Field defined by: u^3 - 3*u^2*v - 3*u*v^2 + v^3 - 3*u^2*w - 5*u*v*w - 3*v^2*w - 3*u*w^2 - 3*v*w^2 + w^3 Defn: Defined on coordinates by sending (x : y : z) to (-2*x - y + 91/6*z : x + y : -6*x)
In :G=E.gens() P=G[0] P
Out :(-143/6 : 455/6 : 1)
In :L=[g(n*P) for n in range(10)] L
Out :[(-1 : 1 : 0), (-1/11 : 4/11 : 1), (-8784/5165 : 9499/5165 : 1), (-375326521/883659076 : 679733219/883659076 : 1), (-6531563383962071/6334630576523495 : 6696085890501216/6334630576523495 : 1), (-2798662276711559924688956/5048384306267455380784631 : 5824662475191962424632819/5048384306267455380784631 : 1), (-399866258624438737232493646244383709/434021404091091140782000234591618320 : 287663048897224554337446918344405429/434021404091091140782000234591618320 : 1), (-678266970930133923578916161648350398206354101381/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 3386928246329327259763849184510185031406211324804/1637627722378544613543242758851617912968156867151 : 1), (-2054217703980198940765993621567260834791816664149006217306067776/2110760649231325855047088974560468667532616164397520142622104465 : 343258303254635343211175484588572430575289938927656972201563791/2110760649231325855047088974560468667532616164397520142622104465 : 1), (36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579/4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 : 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999/4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036 : 1)]
In :L[9].clear_denominators() a=L[9][0] b=L[9][1] c=L[9][2] a,b,c
Out :(36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579, 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999, 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036)
In :a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
Out :4
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Et Claude qui s'était arrêté 1 itération trop tôt... C'est tout de même ballot ! 8-)
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Bonjour à tous,
Je ne doute pas du résultat trouvé.
Mais j'ai une question (plutôt à poser sous le forum "informatique" ...) : avec quelles tolérances est livré Sage ?
Je veux dire, quelles sont les valeurs pour lesquelles on peut assurer que la valeur renvoyée est une valeur exacte ? (je parle du 4)
Est-ce comme pour les calculatrices standards (mais avec une meilleure capacité qu'une quinzaine de chiffres) ?
Le logiciel sait-il s'il se trompe ? Sait-il avertir s'il ne peut pas assurer la valeur exacte ? -
@bisam : Peut-être que Claude voulait me faire bosser les courbes elliptiques. ;-)
Un code magma qui redonne le résultat de GBZM.> P2<x,y,z> := ProjectiveSpace(Rationals(), 2); > C0 := Curve(P2,x*(x+y)*(x+z)+y*(y+x)*(y+z)+z*(z+x)*(z+y)-4*(x+y)*(x+z)*(y+z)); > a:=C0 ! [-1,1,0]; > C,phi:=EllipticCurve(C0,a); > C; Elliptic Curve defined by y^2 - 1/91*x*y = x^3 + 69/8281*x^2 + 15/753571*x + 1/68574961 over Rational Field > psy:=Inverse(phi); > b:= C ! [-3/637,1/57967,1]; > psy(9*b); (368751317941299998271978115652254748254929799689719709962831374716372246340555\ 79/4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772\ 036 : 1544768021087461664419513150199198374856643256695654317000266348982532020\ 35277999/4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423\ 467772036 : 1)
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@Dom : Sage, comme les autres logiciels de calcul formel, ne fait pas de calcul approché quand il travaille avec des entiers de précision arbitraire : quand il répond 4, ce n'est pas à $10^{-1789}$ près, c'est vraiment 4. La valeur renvoyée est toujours une valeur exacte.
Bien sûr, il y a toujours la possibilité d'un bug ... -
Merci bien !
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