Groupe fondamental cyclique
Bonsoir,
Je sèche sur cette question : Trouver un espace topologique connexe par arcs et compact dont le groupe fondamental est isomorphe au groupe cyclique $\mathbb Z/k \mathbb Z$ où $k\geq 1$ est un entier.
Auriez-vous des idées ? J'ai tenté de modifier légèrement $\mathbb S^1$ pour utiliser le fait que son groupe fondamental est $\mathbb Z$ mais ça ne mène nulle part...
Merci !
Je sèche sur cette question : Trouver un espace topologique connexe par arcs et compact dont le groupe fondamental est isomorphe au groupe cyclique $\mathbb Z/k \mathbb Z$ où $k\geq 1$ est un entier.
Auriez-vous des idées ? J'ai tenté de modifier légèrement $\mathbb S^1$ pour utiliser le fait que son groupe fondamental est $\mathbb Z$ mais ça ne mène nulle part...
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Réponses
Edit : je me rends compte que $\mathbb{U}$ n'est pas simplement connexe. Prendre $\overline{D}(0,1)$ à la place, qui a aussi le bon goût d'être compact
Re-edit : mais aussi le mauvaus goût que l'action en question n'est pas libre... du coup mon exemple ne marche pas, il faut faire autre chose, mais le principe général marche, il suffit de construire un tel revêtement
Re-re-edit : je retente ma chance : on prend $S^{2n-1}$ vu comme sous-ensemble de $\mathbb{C}^n$, qui est bien simplement connexe et compact pour $n$ assez grand. On fait agir $G=\Z/n\Z$ dessus via $k\cdot (z_1...z_n) = (e^{\frac{2ik\pi}{n}}z_i)_i$. Cette action est sans point fixe, totalement discontinue, et donc la projection $p: S^{2n-1} \to S^{2n-1}/G$ est bien un revêtement. De plus son groupe d'automorphismes est $\Z/n\Z$ (*), et il agit donc transitivement sur les fibres, ce qui fait que c'est bien un revêtement galoisien, donc on a bien $\pi_1(S^{2n-1}/G) \simeq \Z/n\Z$.
(*) : Si $\xi: S^{2n-1}\to S^{2n-1}$ est un automorphisme, pour tout $\overline{z}$ il existe $k$ tel que $\xi(z) = k\cdot z$. On a en fait $k$ uniforme dans un voisinage de $z$, de sorte qu'on a une application localement constante sur un espace connexe, donc constante, et donc en fait le $k$ est uniforme.
Commence par considérer un bouquet $B$ de $n$ cercles, étiquetés par les générateurs $x_1, \ldots, x_n$. Pour chaque relation $r_i$, prends un polygone $D_i$ dont le bord est étiqueté par $r_i$; par construction, il y a donc une application canonique $\partial D_i \to B$. Le CW-complexe $X$ qui t'intéresse est obtenu en recollant les $D_i$ à $B$ via les applications $\partial D_i \to B$. Une application du théorème de van Kampen montre que le groupe fondamental de $X$ est isomorphe à $X$.
Dans le cas de $\langle x \mid x^k = 1 \rangle$, cela revient à recoller le disque unité $\mathbb{D}$ au cercle $\mathbb{S}^1$ via l'application $\partial \mathbb{D} \to \mathbb{S}^1$ définie par $z \mapsto z^k$ (en utilisant les notations complexes).
@Seirios Merci ! C'est effectivement ce genre d'argument que je cherchais !
@Math Coss Oui c'est effectivement plus visuel comme ça merci !
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_lenticulaire
M.