Automorphisme orthogonal

Est-ce que tu as réussi la première question ?

Essaye de montrer que les deux ensembles cités sont égaux.

Je dirais la chose suivante :

Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est ce qui complique les choses, car si $1$ n'est pas valeur propre,
on a : $\sum\limits_{k=0}^p u^k = (1-u^{p+1}) \circ (1-u)^{-1}$,
ce qui tend vers $0$ quand on divise par $p$.

On met ce sous-espace propre à part, en utilisant l'orthogonalité des sous-espaces propres d'un endomorphisme $\perp$.

Ce n'est pas bien grave, car sur ce sous-espace propre, on a tout simplement $u^k = id$, donc cette moyenne est simplement constante.

On conclut en termes globaux : la suite des moyennes de Cesaro converge, et dépend linéairement de $x$.
Si $x \in E_1(u)$, on a $\lim = x$
Si $x \in E_1(u)^\perp$, on a $\lim = 0$

La limite est donc le projeté orthogonal sur $E_1(u) = \ker(u-Id)$.

Je profite de l'occasion, la moyenne de Cesàro reste valable aussi pour les suites d'éléments d'un espace normé ? (non forcément $K$).

Malheureusement, la convergence de u^n(x) n'est pas évidente.