Automorphisme orthogonal
Bonjour,
je cherche à traiter cet exercice basé sur un automorphisme orthogonal (c'est à dire une isométrie, ie qui conserve le produit scalaire et la norme) d'un ev euclidien, en image jointe. Mais je ne vois vraiment pas comment montrer les questions. Un petit coup de pouce ? Merci d'avance !
je cherche à traiter cet exercice basé sur un automorphisme orthogonal (c'est à dire une isométrie, ie qui conserve le produit scalaire et la norme) d'un ev euclidien, en image jointe. Mais je ne vois vraiment pas comment montrer les questions. Un petit coup de pouce ? Merci d'avance !
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Réponses
Tu peux nous dire comment tu as fait ?
Voici ma rédaction en pièce jointe...
Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est ce qui complique les choses, car si $1$ n'est pas valeur propre,
on a : $\sum\limits_{k=0}^p u^k = (1-u^{p+1}) \circ (1-u)^{-1}$,
ce qui tend vers $0$ quand on divise par $p$.
On met ce sous-espace propre à part, en utilisant l'orthogonalité des sous-espaces propres d'un endomorphisme $\perp$.
Ce n'est pas bien grave, car sur ce sous-espace propre, on a tout simplement $u^k = id$, donc cette moyenne est simplement constante.
On conclut en termes globaux : la suite des moyennes de Cesaro converge, et dépend linéairement de $x$.
Si $x \in E_1(u)$, on a $\lim = x$
Si $x \in E_1(u)^\perp$, on a $\lim = 0$
La limite est donc le projeté orthogonal sur $E_1(u) = \ker(u-Id)$.
Que la convergence simple implique la convergence en moyenne de Cesaro ?
Je pense que oui : que ça marche dans n'importe quel evn (je ne vois rien qui change dans la preuve par rapport à $\R$.)
On peut penser par exemple à $u$ la rotation d'angle $\theta$ dans $\R^2$.
Alors $u^{n}$ est la rotation d'angle $n\theta$. Il n'y a donc pas convergence faible des $u^n$ !
En revanche, il y a bien convergence en moyenne de Cesaro, et ce n'est bien sûr pas contradictoire.