Vecteurs propres

Blueberry19 · March 2018

Bonsoir à tous,
je suis actuellement en train de traiter le sujet Ecricome 2014, j'ai réussi la première question et la deuxième mais j'ai un peu plus de mal pour la question 3.

Je voudrais montrer que u = ( 0,1,-2) et v= (0,1,-1) sont des vecteurs propres de f. Pour ce faire, j'ai pensé à chercher les valeurs propres de A, puis à partir des valeurs propres déterminer les vecteurs propres et les comparer avec u et v. Sauf que j'ai du mal à trouver les valeurs propres de A.
J'ai d'abord calculer (A- µI)
Puis j'ai fais L2 <-- ( 1-µ)L2 - L1
Ensuite j'ai fais
L2 <-- L2+L3
Et j'ai obtenu la matrice suivante, (oui, il y a des parenthèses autour mais je ne sais pas les mettre sur ordinateur...)

   1-µ      [color=#FF0000];[/color]      0    [color=#FF0000];[/color]        0  
    0       [color=#FF0000];[/color]  µ^2-3µ   [color=#FF0000];[/color]      -2µ
    2       [color=#FF0000];[/color]     -2    [color=#FF0000];[/color]     -1-µ

Et après je n'arrive plus, je voudrais une matrice triangulaire...

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Mon raisonnement pour montrer que u et v sont les vecteurs propres de F, est vraiment bon..ou pas ? .
Je vous remercie d'avance,
Bonne soirée à tous.

GaBuZoMeu · March 2018

Pour montrer que $u$ est vecteur propre de $f$, il suffit de calculer $f(u)$ et de constater qu'il appartient à la droite vectorielle engendrée par $u$, autrement dit qu'il existe un scalaire $\lambda$ tel que $f(u)=\lambda u$. (C'est la définition de vecteur propre, n'est-ce pas ?)

marsup · March 2018

GaBuZoMeu a raison, et on est d'accord aussi que $f(u) = A \cdot u$, j'espère !

Donc une fois calculé $A \cdot u$, il ne nous restera, pour trancher "$u\ \vec{\text{vp}}$ de $f$ ?" qu'à se poser la question : le résultat est-il un multiple de $u$ ?

Même punition pour $v$.

Blueberry19 · March 2018

Bonsoir GaBuZoMeu

Oui tout à fait, c'est bien la définition d'un vecteur propre, merci infiniment pour votre aide, je l'avais complètement oublié cette définition là

!!
Et belle soirée à vous.

Bonsoir Marsup,

je suis d'accord avec vous aussi

! Et puis d'ailleurs j'étais en train de me lancer dans des sytèmes et compagnie, alors même que je viens de montrer dans la question précèdente que f n'est pas bijectif car sa matrice dans la base canonique de R^3 est de taille 3 et le rang de A=2 Donc A n'est pas inversible et par conséquent f n'est pas bijectif. Ce qui me permettait d'une part, d'après le cours de déduire que 0 est valeur propre de f et de la réutiliser.

En fait, j'ai compris, merci beaucoup pour votre aide

! Je comprends tellement vite avec vous !
Merci et belle soirée à vous .

Vecteurs propres

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