Somme directe

Je me permets de nuancer un tout petit peu les propos de Poirot.

Par définition, si $E$ est un $K$-espace vectoriel et si $E_1,\ldots,E_r$ sont des sous-espaces, on a $E=E_1\oplus\cdots\oplus E_r$ si tout élément $x\in E$ s'écrit de manière unique sous la forme $x=x_1+\cdots+x_r$ ,avec $x_i\in E_i$.

Dans le cas $r=2$, et seulement dans ce cas, demander l'unicité d'une telle décomposition équivaut à demander que $E_1\cap E_2=\{0_E\}$.


Conclusion: si l'intersection n'est pas réduite au vecteur nul, dans le cas de deux sous-espaces, on perd l'unicité de la décomposition.

Quant à la question à quoi ça sert: ça sert à casser $E$ en petits bouts plus sympa à étudier, principalement dans le contexte de la réduction des endomorphismes.

Par exemple, diagonaliser un endomorphisme $u$ de $E$ revient à chercher une décomposition en somme directe de droites stable s par $u$, trouver une forme de Frobenius revient à chercher une décomposition en somme directe de sous-espaces $u$-cycliques, etc, etc ,etc.

Il suffit de réfléchir un tout petit peu. Par exemple dans $\mathbb R^3$ muni de la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$. Alors la somme des deux plans $P_1=\mathbb Re_1 \oplus \mathbb Re_2$ et $P_2=\mathbb Re_2 \oplus \mathbb Re_3$ n'est pas directe. Par exemple $e_2 \in P_1 + P_2$ s'écrit $e_2 + 0$ ou encore $0+e_2$, ou bien $\frac{e_1}{2} + \frac{e_1}{2}$ etc.