Polynômes irréductibles

emilie770 · March 2018

Exercice 8 question c.
J'ai beaucoup de mal à comprendre ce passage de la correction.

"Étant donné un polynôme irréductible de degré 2 sur F4, le produit avec son conjugué (par l’unique F2-automorphisme non trivial de F4 : cet automorphisme est l'élévation au carré, i.e. le Frobenius de F2) est un polynôme de F2[X] (les coefficients sont invariants par le groupe de Galois) irréductible de degré 4."

Pourquoi l’unique F2-automorphisme non trivial de F4 est le Frobenius de F2 ? Et pourquoi forcément le produit de ces deux polynômes est sur F2[X] et pas F4[X] ?

Poirot · March 2018

C'est la théorie de Galois de base, le corps fixe par un automorphisme du groupe de Galois de $\mathbb F_4/\mathbb F_2$ est exactement $\mathbb F_2$. Les coefficients de ton polynôme sont donc tous dans $\mathbb F_2$.

Pour ce qui est de pourquoi le Frobenius est l'unique automorphisme ici, il suffit d'utiliser le fait que $\mathbb F_4/\mathbb F_2$ est de degré $2$, tandis que l'élévation au carré est d'ordre $2$ en tant qu'automorphisme de $\mathbb F_4$ (Lagrange).

emilie770 · March 2018

Merci Poirot mais je ne comprends pas quand tu dis:

"Les coefficients de ton polynôme sont donc tous dans F2" car de base on conjugue un polynôme de F4 dont les coefficients sont dans F4 non?

Poirot · March 2018

$\mathbb F_2 \subset \mathbb F_4$ via l'identification usuelle entre le sous-corps premier de $\mathbb F_4$ (le sous-corps engendré par $1_{\mathbb F_4}$), qui est d'ordre $2$, et $\mathbb F_2$.

emilie770 · March 2018

Je comprends...merci beaucoup Poirot
Quand tu dis:
"Pour ce qui est de pourquoi le Frobenius est l'unique automorphisme ici, il suffit d'utiliser le fait que F4/F2 est de degré 2, tandis que l'élévation au carré est d'ordre 2 en tant qu'automorphisme de F4 (Lagrange)." on pourrait aussi utiliser le fait que card(AUT(F4/F2))=[F4:F2]=2 ?

Poirot · March 2018

Oui, mais c'est exactement ce que je disais d'utiliser ;-)

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