Calcul différentiel

Bonjour à vous,
J'ai un petit "mal-compris" concernant la différentielle d'une fonction coordonnée.
Par exemple supposons $f : E \to F$ avec $E,F$ des evn
Pour une base $(e_1,\ldots,e_n)$ fixée de $F$ on a $f=f_1.e_1+\cdots +f_n.e_n$
si on passe à la différentielle, peut-on écrire
$df=(df_1).e_1+\cdots +(df_n).e_n$
c'est le passage $d(f_k.e_k)=(df_k).e_k$ qui me pose un petit souci.
J'ai essayé de passer par les définitions en écrivant
$f_k(a+h)=f_k(a)+df_k(a)(h)+o(h)$ (la fonction $f$ autant que ses fonctions coordonnées sont supposées différentiables).
Les fonctions coordonnées sont à valeurs dans $K$, on peut donc multiplier par le vecteur de base $e_k$.
On aura donc $f_k(a+h)e_k=f_k(a)e_k+df_k(a)(h)e_k+o(h)$ (en effet $o(h)e_k=o(h)$)
et donc $d(f_k.e_k)=(df_k).e_k$ puisque $(df_k).e_k$ est linéaire. J'espère que j'ai pas dit de bêtises.
Cordialement.