Exercice d'algèbre (filière ECE)

Blueberry19 · March 2018

Bonjour à tous,
dans l'optique de préparer efficacement nos concours, ma professeure nous a envoyé une compilation d'exercice sur laquelle je suis en train de travailler depuis 5h00. Et il y a un exercice pour lequel j'ai beaucoup de difficulté (en pièce-jointe), il s'agit plus précisément des questions 6)a) et 6)b).

Je ne vois pas comment déduire F, ni même montrer que F est un sous-espace propre de d.
Vous voudriez bien me proposer quelque pistes s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance,
Bonne journée.

Poirot · March 2018

Quels sont les espaces vectoriels de dimension $1$ ? Peux-tu en donner une base ? En utilisant l'hypothèse $\dim F= 1$ tu devrais parvenir à ce que tu veux.

Blueberry19 · March 2018

Bonjour Poirot

merci pour votre aide.

(Le raisonnement qui suit, est un peu brouillon, désolée pour la rédaction..)
Donc si je comprends bien, je dois utiliser l'hypothèse.
Donc je suppose que dim F=1
Donc, la famille libre de F , ne comporte qu'un seul vecteur, deplus il faut qu'elle soit différente de 0, je la note disons h.
donc (h) est une base de F et F= vect ( h).

Mais ensuite je fais comment pour montrer que F est un sous-espace propre de d et déduire F s'il vous plaît ?

Crapul · March 2018

"la famille libre de F" : F n'a pas "une" famille libre. Pour un espace de dimension 1, n'importe quel élément non nul forme une base. Maintenant que tu en as choisi un/une, prends un P élément dans F : quelle forme a-t-il ? Puisque $d(F) \subset F$, quelle forme a $d(P)$ ? En écrivant cela la réponse devrait te sauter aux yeux.
edit : ou plutôt concentre-toi sur l'image de ton élément $h$ par $d$.

Chalk · March 2018

Deux remarques.

Blueberry a écrit:

Donc si je comprends bien, je dois utiliser l'hypothèse.

Ne pas utiliser l'hypothèse dans une question est généralement très suspect.

Crapul a écrit:

Puisque $d(F) \subset F$

L'énoncé est très mal rédigé. La question 6) indique qu'on cherche les sous-espaces $F$ tels que $d(F) \subset F$, c'est l'objectif. Mais on ne se place à aucun moment dans cette hypothèse dans la question 6)a). Une bonne rédaction doit le mentionner explicitement.

Blueberry19 · March 2018

Bonjour Crapul,

tout d'abord merci beaucoup pour votre aide.

Par ailleurs, effectivement vous avez raison, il faut que je fasse attention à écrire plutôt une famille libre, merci de me l'avoir rappelé

Si je me concentre sur l'image de mon élément h par d, voici le raisonnement auquel j'aboutis:
si d(F) est inclus dans F alors d(h) appartient à F ce qui est égal à Vect (h) et il existe ainsi un µ tel que d(h) =µh, mais j'ai du mal pour après...

Comment déduire à partir de cela F ?

Bonjour Skyffer 3,

Merci pour votre intervention

oui haha, ne pas utiliser l'hypothèse serait étrange tout de même..

!

C'est vrai que maintenant que j'y pense, vous avez raison, utiliser ce que je dois montrer est quand même assez étrange...

Bbidule · March 2018

Bonjour,

blueberry a écrit:

... il existe ainsi un µ tel que d(h) =µh

comment traduire cela en terme de vecteur / sous-espace propre ?
que sais-tu des sous-espaces propres de $d$ (cf une éventuelle question précédente...)

Blueberry19 · March 2018

Bonjour Bbidule,

merci pour votre aide

S' il existe un µ tel que d(h) =µh, alors on peut , peut-être 'généraliser" en disant que c'est vrai pour tout xh appartenant à F d'où d(xh)= µxh ? Du coup mon F c'est un sous espace propre associé à la valeur µ. Mais après je fais comment pour déduire F, s'il vous plaît ?

Blueberry19 · March 2018

Ah en fait, j'ai compris ! Tout est dans ma réponse à la question 4) , 0 est une valeur propre de d, le sous-espace propre est ker (d) et ensuite les polynômes qui son associés ce sont les polynôme constant.
Donc je peux dire que F= Ro[X] d'après la question 4)

Merci Bbidule.

Exercice d'algèbre (filière ECE)

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