Forme quadratique
dans Algèbre
Comment trouver la signature de la forme quadratique $A\rightarrow Tr(A^tA)$
Réponses
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en dimension n
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Quelle est l'expression de $Tr(A^tA)$ en fonction des coefficients de $A$ ?
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Si $A=(a)_{ij}$ alors $Tr(^tAA)=\sum_{k,l=1}^{n}a_{kl}^2$
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Oui, et ... ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
je voudrais déterminer la signature
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Eh bien, regarde ce que tu as obtenu, et réfléchis, au lieu d'attendre que l'on fasse ton travail à ta place.
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je dirais que la signature c'est (n,0)
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oui (tu). Comment le démontres-tu ?
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Pas tout à fait $(n,0)$ parce qu'il y a $n^2$ variables...
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Oui, pardon, mea culpa. $(n^2,0)$...
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merci oui oui $(n^2,0)$
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tu n'as toujours pas répondu. Comment le démontres-tu ?
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en développant la double somme on obtient exactement $n^2$ carré
$\sum_{k,l=1}^na_{kl}^2=\sum_{l=1}^na_{1l}^2+\dots+ \sum_{l=1}^na_{nl}^2$ et chaque somme contient n terme. -
Voilà ce que je fais.
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et alors ? ça démontre quoi ?
Quelle serait , selon toi, la signature de la forme quadratique $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mapsto q(x,y,z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\in\mathbb{R}$ ? -
elle serait (3,0)
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Ta forme est déjà sous la forme réduite de Gauss.
[Gauss (1777-1855) s'écrit avec une majuscule en toute occasion] -
Elles sont libres tes formes linéaires ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je n'ai même pas pensé à ça mais je pense qu'elles ne sont pas forcement libres car on peut par exemple avoir des coefficients identiques.
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x-y+y-z+z-x= ????
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en regroupant le dans ce s termes le nombre de terme dans la somme ne sera plus $n^2$
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Bon, visiblement, tu ne veux pas réfléchir à ce qu'on te dit, et tu balances des réponses au hasard. Moi, j'arrête là.
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C'est faux si je dis que en regroupant les termes identiques on n'aura plus $n^2$ termes dans la somme ?
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mais bon en regardant espace de départ comme un espace vectoriel de dimension $n^2$ et que on a $n^2$ variables les sont libres.par exemple $q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$
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les formes x-y, y-z et x-z ne sont pas libres et c'est donc pas une réduite de Gauss et je voie de quoi tu parlais
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la forme quadratique peut s'écrire comme somme de carrée sans que les formes linéaires soient libres
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Une forme linéaire n'est pas "libre" ou "liée". C'est une famille de formes linéaires qui est libre ou liée.
Si on tient à parler des formes linéaires de la famille, alors on dit qu'elles sont linéairement indépendantes. -
merci pour le vocabulaire
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C'est moi qui ai commencé.
Effectivement ma formulation est malheureuse.
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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