Groupe multiplicatif
Bonjour à tous
Voilà un corrigé sur lequel ma compréhension dérape d'entrée de jeu.
Déjà, au niveau de l'énoncé de la question 1, il est question du produit des $x$ pour $x\in$$G$, s'agit t'il du même élément $x$ qu'on multiplie par lui même un certain nombre de fois ? Ou alors d'un produit de $x_i$ différents deux à deux et appartenant à $G$ (et donc d'une erreur de syntaxe de l'énoncé) ?
J'aurai d'autres questions a poser mais commençons par ce point là...
Merci.
Voilà un corrigé sur lequel ma compréhension dérape d'entrée de jeu.
Déjà, au niveau de l'énoncé de la question 1, il est question du produit des $x$ pour $x\in$$G$, s'agit t'il du même élément $x$ qu'on multiplie par lui même un certain nombre de fois ? Ou alors d'un produit de $x_i$ différents deux à deux et appartenant à $G$ (et donc d'une erreur de syntaxe de l'énoncé) ?
J'aurai d'autres questions a poser mais commençons par ce point là...
Merci.
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Réponses
Quand on écrit $1+2+3+\cdots+20=\sum\limits_{i=1}^{20} i$, s'agit-il du même i dans la somme ?
Cordialement.
Dans l'énoncé que j'ai donné, il faut comprendre alors que c'est un produit d'éléments $x$ de G deux à deux différents?
Dans le corrigé, il y a un produit de $1$ à $n$, écrit comme cela, je trouve ça clair. Je ne trouve pas l'énoncé clair en revanche d'où ma question qui peut sembler bébête j'en conviens..
\begin{align*}\prod_{x\in G}x&=\prod_{k=0}^5\zeta_k=\zeta_0\zeta_1\zeta_2\zeta_3\zeta_4\zeta_5\;;\\
\prod_{x\in G}(ux)&=\prod_{k=0}^5(\zeta_2\zeta_k)=\prod_{k=0}^5\zeta_{k+2}=\zeta_2\zeta_3\zeta_4\zeta_5\zeta_0\zeta_1.\end{align*}
Plaçons nous dans un groupe commutatif $G$ où la loi de composition interne est notée multiplicativement.
Soit $f:I\to G$ une application, avec $I$ un ensemble fini. Comprends-tu la notation $\prod_{i\in I} f(i)$ ? (Le produit des $f(i)$ pour $i\in I$).
Maintenant, considère l'application identité $G\to G$, l'application $x\mapsto x$. Ne comprends-tu pas la notation $\prod_{x\in G} x$ ? (Le produit des $x$ pour $x\in G$).
> L'énoncé est parfaitement clair, par contre tu
> n'as pas une compréhension claire de ce que
> signifie la notation pour la somme ou le produit
> d'une famille d'éléments.
> Plaçons nous dans un groupe commutatif $G$ où la
> loi de composition interne est notée
> multiplicativement.
> Soit $f:I\to G$ une application, avec $I$ un
> ensemble fini. Comprends-tu la notation
> $\prod_{i\in I} f(i)$ ? (Le produit des $f(i)$
> pour $i\in I$).
Oui c'est le produit des $f(i)$ pour $i$ parcourant l'intervalle $I$
> Maintenant, considère l'application identité
> $G\to G$, l'application $x\mapsto x$. Ne
> comprends-tu pas la notation $\prod_{x\in G} x$ ?
> (Le produit des $x$ pour $x\in G$).
C'est le produits de tout les éléments composant G il me semble...
Ce conseil vaut aussi pour l'autre fil sur la distance atteinte.
Et si je modifie en disant que l'indice $i$ prend toutes les valeurs de l'ensemble fini $I$, cela cadre ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Pour en revenir au fond du sujet, pouvez-vous m'aider à comprendre comment le produit des x peut-être égale au produit des ux et le lien avec l'application introduite juste avant dans le corrige dont on démontre qu'elle est bijective.
Le post de mathcross avec les racines de l'unité m'a permis de constater sur un autre exemple que le phénomène existe, je le vois bien, mais je ne comprends toujours pas la démonstration du corrigé, plus précisément le lien entre le fait que cette application soit bijective et le fait que les deux produits soit égaux....
Merci pour votre patience à tous.
Pour un autre exemple, vois ici : comment décrypterais-tu ces deux sommes ?
Par contre dans le cas de mon exercice, je ne comprends pas comment les produits peuvent être égaux, je comprends par contre dans la suite du corrigé la nécessité que un=e pour garantir que les produits soit égaux, mais comment peut-on dire qu'ils sont égaux avant d'avoir posé cette condition la ?
Soit $u\in{G}$ arbitrairement choisi et posons $b_u(g)=u.g$ pour tout $g\in{G}$. Ainsi a-t-on $b_u\in\mathfrak{S}(G)$. Partant, par associativité et commutativité de la loi interne $.$ sur $G$, l'on a\[\prod\limits_{g\in{G}}b_u(g)=\prod\limits_{g\in{G}}(u.g)=u^n\,\left(\prod\limits_{g\in{G}}g\right)=\prod\limits_{g\in{G}}g\]vu que $\mathrm{card}\,G=n$ et donc que $u^n=e$.
Cordialement,
Thierry
Bien compris, ce qui me gêne en fait dans le corrigé, c'est qu'il soit dit que l'égalité est prouvé avant de discuter de la valeur de un , comme si cela était déjà acquis à ce stade-là de la démonstration....
@raboteux : Imagine que tu aies une bijection $\sigma:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$. (Pour un exemple explicite, $n=20$, $\sigma(k)=21-k$ pour $k\in\{1,\dots,20\}$.) La somme $\sum_{k=1}^n\sigma(k)$ est la somme de tous les éléments $\sigma(k)$ (dans l'exemple : les entiers de $1$ à $20$ numérotés à l'envers) : comme $\sigma$ est une bijection, tous les éléments de $\{1,\dots,n\}$ apparaissent une fois et une seule : autrement dit, la somme est égale à $\sum_{k=1}^nk$. De même, si on avait un produit, $\prod_{k=1}^n\sigma(k)$ est égal à $\prod_{k=1}^nk$.
Dans notre cas, au lieu que l'ensemble des indices soit $\{1,\dots,n\}$, c'est un groupe (fini et commutatif) $G$. Le produit $\prod_{x\in G}x$ est le produit de tous les éléments de $G$, chacun apparaissant une fois. Si on fixe une bijection $\sigma$ de $G$ dans $G$ (ce que Thierry note $b_u$), le produit $\prod_{x\in G}\sigma(x)$ est le produit de tous les éléments $\sigma(x)$. Mais pour tout élément $y$ de $G$, il existe un unique $x$ tel que $y=\sigma(x)$. Cela signifie que tout élément $y$ de $G$ apparaît une fois et une seule dans le produit. Autrement dit, $\prod_{x\in G}\sigma(x)$ est le produit $\prod_{y\in G}y$. Mais c'est aussi évidemment $\prod_{x\in G}x$ : la variable $x$ est muette, comme l'est $y$ dans le produit précédent et les deux notations désignent, une dernière fois, le produit de tous les éléments de $G$.
Par ailleurs, on calcule : $\prod_{x\in G}(ux)$ est le produit de $|G|$ facteurs qui sont eux-mêmes le produit de deux : il y a $n=|G|$ facteurs égaux à $u$ et le reste, c'est $\prod_{x\in G}x$. Autrement dit, on a : $\prod_{x\in G}(ux)=u^n\prod_{x\in G}x$.
En comparant ces deux égalités et en multipliant chaque membre par l'inverse de $\prod_{x\in G}x$, il vient : $u^n=1$ (ou $e$ ?).
Pour dire différemment ce que viennent de dire Math Coss et Poirot : l'égalité est prouvée dès lors que tu sais qu'il y a exactement les mêmes facteurs dans chacun des produits (puisque ces produits sont commutatifs), ce que l'on montre en exhibant la bijection $x \in G \mapsto ux$. À ce stade, pas besoin de savoir que $u^n=e$ pour établir l'égalité.
En revanche, une fois l'égalité des produits établie, on peut en déduire, toujours par commutativité de $G$, que $u^n =e$.
Après une bonne nuit de sommeil, une réflexion de plus sur le sujet m'a permis enfin de débloquer ma compréhension : je voyais l'égalité de ces deux produits comme l'égalité $x_i$=$ux_i$ pour chaque terme, c'est cela qui me tarabustait en fait, j'ai compris ce matin que ce n'est pas du tout ça...
Merci à tous !