Lemme des noyaux
Bonjour,
soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n tel que f rond (f-id)^2 est l'endomorphisme nul.
Dans un exercice on trouve, pour x quelconque élément de E, une décomposition selon Ker f et Imf.
A posteriori cela se vérifie facilement puisque id=(f-id)^2+f rond (2id-f).
Ensuite on doit avoir Imf et Kerf supplémentaires dans E.
Ceci s'obtient immédiatement par théorème du rang mais, pour m'entraîner, j'aurais aimé savoir comment le faire avec l'intersection réduite au vecteur nul de E et je n'y arrive pas.
Si on prend x dans Ker f et y dans Imf on a f(x)=0 et f(y)=x (je suppose qu'il faut utiliser la propriété de l'énoncé mais je bloque).
Ça doit être très bête sûrement...
soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n tel que f rond (f-id)^2 est l'endomorphisme nul.
Dans un exercice on trouve, pour x quelconque élément de E, une décomposition selon Ker f et Imf.
A posteriori cela se vérifie facilement puisque id=(f-id)^2+f rond (2id-f).
Ensuite on doit avoir Imf et Kerf supplémentaires dans E.
Ceci s'obtient immédiatement par théorème du rang mais, pour m'entraîner, j'aurais aimé savoir comment le faire avec l'intersection réduite au vecteur nul de E et je n'y arrive pas.
Si on prend x dans Ker f et y dans Imf on a f(x)=0 et f(y)=x (je suppose qu'il faut utiliser la propriété de l'énoncé mais je bloque).
Ça doit être très bête sûrement...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
On a $f \circ (f-i)^2 = 0$.
On montre que $ker(f)$ et $im(f)$ sont en somme directe.
Tu obtiens une décomposition en écrivant : $i = (f-i)^2 + f \circ (2i-f)$. $(\star)$
Pour montrer l'unicité, tu prends $y = f(x) \in im(f) \cap ker(f)$.
(Ce n'est pas ta notation, mais ça me semble plus naturel)
Tu veux montrer que $y=0$.
On sait que $x \in ker(f \circ (f-i)^2)=E$, donc $y\in ker((f-i)^2)$.
Mais donc $y = f \circ (2i-f) (y)$, par ta relation $\star$.
Mais comme $y\in ker(f)$, on trouve $y=0$.
Je pense qu'un meilleur titre pour ton fil serait "lemme des noyaux".
ok concernant le titre, même si je ne comprends pas le lien avec ce que Wikipédia explique du lemme des noyaux (ne connaissant ni la notion de premiers entre eux pour les polynômes qui doit faire appel à des pgcd de polynômes...) pourriez vous m'éclairer?
Tu as un polynôme annulateur $\Pi(X) = X\cdot (X-1)^2$ pour ton endomorphisme $f$, car
$\Pi(f) = f \circ (f-i)^2 = 0$.
Comme tu as remarqué, on peut écrire :
$1 = (X-1)^2 + (2-X) \cdot X$, ce qui est la relation de Bezout pour les polynômes premiers entre eux $(X-1)^2$ et $X$. (premiers entre eux : sans diviseur commun autre que des constantes.)
Le lemme des noyaux nous dit que dans ce contexte,
on a : $E = \ker(f) \oplus \underbrace{\ker((f-i)^2)}_{=im(f)}$.
L'écriture $\star$ que tu as obtenue est un argument clé pour montrer cette décomposition, dans ce cas, ainsi que dans tous les autres.
Comme tu dois bien le sentir, on aurait pu choisir un polynôme annulateur plus compliqué :
par exemple avec la relation $f \circ (f-2i)^3 \circ (f+i) = 0$.
On peut adapter la preuve que tu tiens pour alors montrer de même :
$E =
\ker(f) \oplus \underbrace{\ker((f-2i)^3 \circ (f+i))}_{=im(f)}$.
Le gros du travail sera de trouver l'analogue de la relation $\star$ dans ce contexte, ce qui demandera d'être assez méthodique : voir Wiki
-- Edit
Ah non finalement ce n'est pas bien compliqué.
On développe : $(X-2)^3 \cdot (X+1) = - 8 + X \cdot R(X)$
donc la relation $\star$ s'écrit simplement :
$1 = -\frac{1}{8} \cdot (X-2)^3 \cdot (X+1) + \frac{1}{8} \cdot X \cdot R(X)$
Si tel est le cas j'ai du mal à visualiser des situations où l'ordre de composition compterait, auriez vous un exemple où l'ordre compte ?
j'ai du mal à rapprocher le fait que la commutativité avec les polynômes d'endomorphisme soit vrai et le fait que la composition ne soit pas commutative en général...
Question bête...
Merci de votre aide
Pour un exemple simple, considérer les endomorphismes de $\mathbb R^2$ qui ont pour matrices respectives dans la base canonique $\begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix}$ et$\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}$.