Reconstruction de groupes

Non, la question est , étant donné deux groupes $N,K$, la question est de trouver tous les groupes $G$ qui ont un sous-groupe normal isomorphe à $N$ tels que $G/N\simeq K$.

La question est extrêmement ardue, et je ne pense pas qu'il y ait un jour une réponse générale à ce genre de question.

Lorsque les ordres de $K$ et $N$ sont premiers entre eux, sauf erreur, on obtient les produits semi-directs $N\times_\rho K$. Mais on n'a pas de CNS pour décider si deux produits semi-directs sont isomorphes ou non.

Même lorsque $N$ est en plus supposé central dans $G$, le problème est ardu. Cela revient plus ou moins à calculer $H^2(K,N)$...

Voici encore un argument en faveur du fait qu'il n'y a pas de réponse générale. Tout $p$-groupe fini d'ordre $p^{n+1}$ admet un sous-groupe central d'ordre $p$. Tout $p$-groupe fini d'ordre $p^{n+1}$ est donc une extension d'un groupe d'ordre $p^n$ par un sous-groupe central cyclique d'ordre $p$. Si on savait répondre à la question , on pourrait classifier tous les $p$-groupes finis...

Bonjour Ririkrkr

Comme indiqué dans le Berhuy, le problème est de déterminer toutes les extensions $G$ de $K$ par $N$, à isomorphisme près. Cela est équivalent à avoir la suite exacte $$
\xymatrix{ \{1\}\ar[r]&N\ar[r]&G\ar[r]^{~\pi~}&K\ar[r]&\{1\} }.
$$ Alors, le groupe $G$ ainsi construit admet un sous-groupe propre $N$ distingué (donc $G$ n'est pas un groupe simple) et le quotient $G/N\simeq K$.
Dans certains cas (faciles ?), s'il existe une section $s:K\to G$ telle que $\pi\circ s = \mathrm{id}_K$, alors le groupe $G$ est isomorphe au produit semi-direct (externe) de $N$ par $K$. Et là, on sait construire tous les produits semi-directs $N\rtimes_\phi K$. Il y en a autant que de morphismes $\phi: K\to \mathrm{Aut}(N)$, que l'on sait obtenir connaissant $K$ et $N$ donc $\mathrm{Aut}(N)$.
L'inconvénient est qu'on retrouve beaucoup de fois le même (isomorphe) produit semi-direct. Il faut donc déterminer les $\phi: K\to \mathrm{Aut}(N)$ qui vont donner des produits semi-directs isomorphes entre eux, pour les éliminer. Il y a un théorème qui permet d'affirmer que si $\phi_1$ et $\phi_2$ vérifient certaines bonnes conditions alors les produits semi-directs sont isomorphes : $N\rtimes_{\phi_1}K\simeq N\rtimes_{\phi_2}K$. Mais ce n'est qu'une condition suffisante et il est possible que $\phi_1$ et $\phi_2$ ne vérifient pas les bonnes conditions et pourtant que les deux produits semi-directs soient isomorphes.
Et ceci, c'est dans le cas favorable où la suite exacte est scindée. Dans le cas contraire, on peut prolonger la méthode, mais c'est encore plus compliqué.
Bref, ce n'est pas systématique, et dans certains de cas, il faut y aller voir au coup par coup.
Si tu t'intéresses à la question, je te conseille de te procurer mon livre dans une BU, et d'y consulter le chapitre X, qui décrit ces procédés.

Alain