Groupes d'isométries du rectangle
Bonjour à tous. Voilà dans un exercice d'algèbre on me demande de donner la liste des isométries d'un rectangle (non carré).
Pour ce faire je "dessine" mon rectangle, j'appelle $O$ le point ou les diagonales du rectangle se croisent et je fixe un repère orthogonal centré en ce point. Les isométries qui conservent l'ensemble $\{A,B,C,D\}$ (du rectangle $ABCD$) sont donc :
l'identité, la rotation d'angle $\pi$ et centrée en $O$ ainsi que les réflexions par rapport à $O_x$ et $O_y$.
Je note donc : $R_\pi$, $SO_y$ et $SO_x$ ces nouvelles applications. Je démontre que l'ensemble de ces applications (ainsi que l'identité) forment un groupe pour la loi $"\circ"$ (composition des applications), je dresse la table de ce groupe. Je note $Iso(ABCD)$ ce groupe, on a ainsi : $Iso(ABCD) = \{id,R_\pi,SO_x,SO_y\}$
Là ou je bloque c'est lorsqu'on me demande de démontrer que ce groupe est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$.
Alors je vois bien que c'est un groupe à 4 éléments dont tout les éléments sont d'ordre 2 sauf l'identité, mais à part ça... Si quelqu'un peut m'aider à me débloquer ce serait super.
Pour ce faire je "dessine" mon rectangle, j'appelle $O$ le point ou les diagonales du rectangle se croisent et je fixe un repère orthogonal centré en ce point. Les isométries qui conservent l'ensemble $\{A,B,C,D\}$ (du rectangle $ABCD$) sont donc :
l'identité, la rotation d'angle $\pi$ et centrée en $O$ ainsi que les réflexions par rapport à $O_x$ et $O_y$.
Je note donc : $R_\pi$, $SO_y$ et $SO_x$ ces nouvelles applications. Je démontre que l'ensemble de ces applications (ainsi que l'identité) forment un groupe pour la loi $"\circ"$ (composition des applications), je dresse la table de ce groupe. Je note $Iso(ABCD)$ ce groupe, on a ainsi : $Iso(ABCD) = \{id,R_\pi,SO_x,SO_y\}$
Là ou je bloque c'est lorsqu'on me demande de démontrer que ce groupe est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$.
Alors je vois bien que c'est un groupe à 4 éléments dont tout les éléments sont d'ordre 2 sauf l'identité, mais à part ça... Si quelqu'un peut m'aider à me débloquer ce serait super.
Réponses
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Ben, c'est fini, non ? les seuls groupes d'ordre $4$ sont le groupe cyclique et $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$. Comme le premier possède un élément d'ordre 4...
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Alors je veux bien moi mais comment démontrer cette affirmation, elle n'est pas dans mon cours !
-
Attends tu voulais bien dire que : "Tout groupe fini d'ordre 4 est isomorphe soit à $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ soit à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$"
(et c'est précisément cette affirmation qui n'est pas dans mon cours que je voulais démontrer). -
L'application $\sigma \mapsto (c_\sigma,l_\sigma)$,
avec $c_\sigma =
\begin{cases}
- 1 & \text{ si $\sigma$ intervertit les côtés courts} \\
1 & \text{ sinon} \\
\end{cases}
$
et $l_\sigma =
\begin{cases}
- 1 & \text{ si $\sigma$ intervertit les côtés longs} \\
1 & \text{ sinon} \\
\end{cases}
$
réalise un isomorphisme de groupe sur $\big(\Z/2\Z\big)^2$.
Un autre isomorphisme est donné par : $\sigma \mapsto (d_\sigma,o_\sigma)$,
avec $d_\sigma =
\begin{cases}
- 1 & \text{ si $\sigma$ intervertit les diagonales} \\
1 & \text{ sinon} \\
\end{cases}
$
avec $o_\sigma =
\begin{cases}
1 & \text{ si $\sigma$ préserve l'ordre cyclique des sommets} \\
- 1 & \text{ sinon} \\
\end{cases}
$ -
Attendez j'ai peut-être un théorème qui se trouve dans mon cours qui me permettrait de conclure quand j'y pense. C'est le théorème de structure des groupes abéliens de type fini. Comme $Iso(ABCD)$ est un groupe abélien (cf : la table du groupe), et qu'il est de type fini, et puisque $(2,2)$ forme une paire de puissance de nombres premiers, alors il vient que :
$Iso(ABCD)$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$, ai-je le droit de conclure ainsi ? -
Je crois que tu pars en vrille, TaliZorah.
Tu veux reconnaître le groupe $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$.
C'est bête comme chou : tu construis un isomorphisme, dans un sens ou dans l'autre, et basta !
Chercher à invoquer tel ou tel résultat de classification des groupes finis pour un exemple aussi simple constitue vraiment une fuite en avant. -
Oui oui je le conçois, ta démonstration est de toute façon très claire je t'en remercie !
-
Cependant il y a tout de même ce beau résultat qui aurait permis de me sortir aussi rapidement de cette situation c'est l'affirmation suivante :
"Tout groupe d'ordre 4 est isomorphe soit à $Z/4Z$ soit à $(Z/2Z)^2$"
Et je pense intuitivement que la démonstration nécessite le théorème de classification des groupes abéliens de type fini. -
marsup le dit peut-être un peu trop véhémentement mais je suis d'accord qu'il est inutile d'invoquer un résultat de classification (ce que proposait killersmile plus haut). En fait, n'importe quelle bijection qui envoie le neutre sur le neutre est un isomorphisme : aucune chance de se tromper !
Pour être un peu plus « naturel », on peut aussi prendre un repère orthonormé dont l'origine est le centre du rectangle et dont les axes sont parallèles aux côtés du carré. Par exemple, une des symétries du rectangle est la réflexion par rapport à l'axe des abscisses, qui envoie un point $(x,y)$ sur le point $(x,-y)$. Si on regarde les signes, on se dit qu'on enverrait bien cette application sur $(1,-1)$. Comment terminer la description en coordonnées du groupe du rectangle et de l'isomorphisme avec $\{-1,1\}\times\{-1,1\}$ ?
Edit : remplacement de $\Z/2\Z$ par $\{-1,1\}$. -
TaliZorah a écrit:
"Tout groupe d'ordre 4 est isomorphe soit à Z/4Z soit à (Z/2Z)2"
Et je pense intuitivement que la démonstration nécessite le théorème de classification des groupes abéliens de type finis.
Non. Il suffit d'écrire les tables de multiplication possibles pour une loi de groupe sur $4$ éléments, et de constater, qu'à renumérotation près des éléments, il n'y a que deux tables possibles. C'est un des premiers exercices qu'on l'on donne à faire aux étudiants en général, car on a juste besoin de la définition de groupe, et du fait qu'une loi de groupe est simplifiable. -
Mes excuses si j'ai été trop virulent.
Ce qu'il y a, c'est que tu nous parles de la table du groupe.
À partir de ce moment-là, tout est terminé. Qu'y aurait-il à savoir de plus ?
La façon la plus simple de construire l'isomorphisme est de partir du modèle $\big(\Z/2\Z\big)^2$, et d'envoyer les deux générateurs $(1,0),(0,1)$ sur deux générateurs de ton groupe géométrique. On vérifie que c'est bien un isomorphisme de groupes.
Mes propositions ci-dessus vont dans l'autre sens et visent à donner plus de sens géométrique à cet isomorphisme, mais on peut faire algébriquement si on aime mieux.
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