Exercice en espace vectoriel

jamal.ossad · March 2018

Svp je n'arrive pas à résoudre cet exercice en e.v.

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $F$ est un s.e.v de $E$.
Monter que si $F \subsetneq E$ (strictement), alors $Vect(E\setminus F)=E$.
Merci d'avance.

Maxtimax · March 2018

Qu'as-tu essayé ?

killersmile38 · March 2018

On peut procéder de la façon suivante.

On considère un supplémentaire $G$ de $F$ dans $E$: $E=F\oplus G$. L'hypothèse sur $F$ entraîne que $G$ est non nul.

Je te suggère de regarder le sous-espace engendré par les vecteurs $g+f,$ avec $g\in G\setminus\{0\}$ et $f\in F$.

Poirot · March 2018

Plus généralement, le sous-groupe engendré par le complémentaire d'un sous-groupe strict d'un groupe $G$ vaut $G$ tout entier.

Maxtimax · March 2018

@killersmile : passer par des supplémentaires pour un truc aussi élémentaire... :-D
Je préfère l'approche de Poirot, dans laquelle on voit que ça n'a rien de spécifique aux espaces vectoriels (et qui donne une idée de la preuve puisque ce sont essentiellement les hypothèses "minimales")

marsup · March 2018

On remarque que $Vect(E\setminus F)$ contient $E \setminus F$.

Il reste donc à montrer que $Vect(E\setminus F)$ contient $F$.

Soit $f \in F$. On sait qu'il existe $e \in E$, tel que $e \not\in F$.

Peut-on écrire $f$ comme combinaison linéaire d'éléments n'appartenant pas à $F$ en utilisant $e$ ?

Exercice en espace vectoriel

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