Espace vectoriel

Ahlamsmap
Ahlamsmap
dans Algèbre
Salut
Est ce que le fait que E soit un espace vectoriel sur k veut dire que E doit être inclus dans K?
Cordialement.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Qu'est-ce qui te fait penser que ça puisse être le cas ? Ne connais-tu pas d'exemples d'espaces vectoriels ?
  • Dom
    Dom
    Non.

    Et même si le corps K est un espace vectoriel sur lui-même, noté E, on peut chipoter.
  • Poirot
    Poirot
    Tu as certainement du voir en cours les exemples classiques des $\mathbb R^n$ pour les $\mathbb R$-espaces vectoriels. Penses-tu que $\mathbb R^2 \subset \mathbb R$ ?
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Mais si E n'est pas inclus dans K en peut pas parler de loi de composition externe par exemple si on prend K=C et E=R et si a apartient á c et x apartient á E alors a.x n'apartient pas á R .
  • Math Coss
    Math Coss
    En effet, on ne peut pas munir $\R$ d'une structure d'espace vectoriel sur $\C$. (Mais on peut faire de $\C$ un espace vectoriel sur $\R$.) La condition « $E\subset K$ » n'est pas pertinente pour autant : la plupart du temps, $E$ n'est pas inclus dans $K$ et souvent aussi, $K$ n'est pas inclus dans $E$.

    Sois naïf/naïve pour une fois : un vecteur, c'est une flèche, un scalaire c'est un nombre. Tu sais faire le produit d'un scalaire par un vecteur. Pourtant, en général au moins, un vecteur n'est pas un nombre et un nombre n'est pas considéré comme un vecteur.

    Edit : en fait, si on tord les choses convenablement, on peut... Voir ici.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Et voilà , donc on peut pas dire que R est un espace vectoriel sur C.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Ahlamsmap.

    Si tu ne précises pas les deux lois que tu choisis sur $\R$, ta phrase n'a aucun sens. Quand on dit que $\C$ est un espace vectoriel sur $\R$, c'est que l'addition de complexes et la multiplication d'un complexe par un réel sont sous-entendus, et bien connus. Même chose quand on dit que $\R^3$ est un espace vectoriel réel.
    Mais dans ton cas, comme il n'y a pas de multiplication naturelle dans $\R$ par un réel, on ne fait pas de quoi tu parles.

    Cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    Je pense que tu ferais mieux de te faire une expérience du sujet avec les exemples classiques (suites finies de réels, fonctions, polynômes, ...) pour bien comprendre comment fonctionne la structure d'espace vectoriel, avant d'aller chercher des complications. Et de regarder les définitions exactement comme elles sont, sans rajouter quoi que ce soit : la définition, toute la définition, rien que la définition.

    Cordialement.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Oui gerard0 tu as raison,mais question est claire la multiplication d'un nombre complexe par un nombre réel donne un nombre complexe donc on peut pas parler de stabilitée de la multiplication
    Cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Mais il n'y a aucune raison que la loi externe sur $\R$ soit l'opération habituelle. Pourquoi une autre opération qui donne un réel ne serait pas utilisable ?
    " la définition, toute la définition, rien que la définition." Il n'y a rien dans la définition qui impose de prendre une opération déjà connue.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Eeh ben supposons que la loi externe soit la multiplication habituelle, la multiplication des nombres ? Dans ce cas on n'aura pas la stabilité n'est-ce pas ?
  • michael
    michael
    La multiplication des nombres complexes n'est pas définie de $\mathbb{C} \times \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (pour la raison que tu as évoquée : en général, le produit d'un complexe par un réel n'est pas un réel), elle n'a donc aucune chance d'être la loi externe souhaitée.
    La question que tu poses est donc un peu étonnante : tu demandes si un "truc" qui n'est pas définie peut être une loi externe... À l'évidence non.
  • gerard0
    gerard0
    " la définition, toute la définition, rien que la définition."


    C'est une bonne chose d'explorer les définitions, évidemment en s'y tenant. Rajouter des "et si ..." ne fait que perdre son temps, vu qu'on sort de la définition.
    "Avec des "si" on mettrait Paris en bouteille.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    La réponse est tout simplement NON on ne peut pas avoir une telle chose.
    Avec 'si' on ne perd pas du temps gerard0.On a le droit de se douter puis se convaincre , avec si on voit les choses de l'autre coté outre que dire oui et accepter les définitions rapidement. n'est-ce pas ??
    Merci
    Cordialement.
  • Crapul
    Crapul
    Bon... je regarde un peu sur le net et je ne trouve pas de référence : peut-on construire une multiplication externe $\bullet : \C \times \R \to \R$ telle que $(\R,+,\bullet)$ soit un $\C$-espace vectoriel (avec modification éventuelle/obligée des additions et de la multiplication des complexes) ?
    Mais je me dis que même si ça existe si on modifie trop les lois ça dénature complètement le problème...
    Bref, je n'en ai aucune idée, donc si quelqu'un a une référence...
  • Math Coss
    Math Coss
    Pour montrer que ça existe (contrairement à ce que je proclamais plus haut...), c'est facile : il existe une bijection entre $f:\R\to\C$ donc on peut définir, pour $z\in\C$ et $x,x'\in\R$, $x\dot+x'=f^{-1}(f(x)+f(x'))$ et $z\cdot x=f^{-1}(zf(x))$ (où la somme $+$ et le produit $zf(x)$ sont les opérations habituelles de $\C$). Cela fait de $\R$ un $\C$-espace vectoriel de façon extrêmement peu naturelle.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $\mathbb C$ et $\mathbb R$ sont deux $\mathbb Q$-espaces vectoriels de même cardinal (le continu), il existe donc un isomorphisme de $\mathbb Q$-espaces vectoriels $i : \mathbb C \to \mathbb R$. Il n'y qu'à transporter la multiplication de $\mathbb R$ le long de $i^{-1}$ pour faire de $\mathbb C$ un corps isomorphe à $\mathbb R$, et $\mathbb R$ est un espace vectoriel (de dimension $1$) sur $\mathbb C$ muni de cette structure de corps, la multiplication externe étant donnée par $(z,x)\mapsto z\bullet x= i(z)x$.
    Edit : c'est un peu mieux que l'histoire de Math Coss, ici toute la structure additive de $\mathbb C$ est préservée. ;-)
  • Crapul
    Crapul
    Peut-être, mais ça répond à ma question, merci beaucoup ! je ne connaissais pas le coup de la bijection, avec entrelacement etc.
    On peut encore se demander si on peut arriver à construire une structure d'ev en bricolant explicitement des nouvelles lois, et est-ce qu'une telle nouvelle structure peut toujours être obtenue avec une telle bijection $f$... Il doit bien y avoir des travaux là-dessus.
    Merci en tout cas pour la réponse.
    edit : posté avant de voir le message de GBZM
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Crapul écrivait:
    > Il doit bien y avoir des travaux là-dessus.

    Non, parce que ça ne présente aucun intérêt. Cette méthode de fabrication est connue sous le nom de "transport de structure".
  • Math Coss
    Math Coss
    On peut discuter sur ce qui est mieux. En transportant la somme et le produit par un scalaire de la même façon, on fait d'un intervalle ou d'un disque un espace vectoriel sur $\C$, ce qui montre l'arbitraire d'une telle construction. A contrario, les $\Q$-bases sont utiles par exemple pour construire des fonctions additives non continues (non mesurables) de $\R$ dans $\R$.
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