Plus petit sous-anneau de $\mathbb C[T]$
Bonjour
Soit $\mathbb C[T^2, T^3]$ le plus petit sous-anneau de $\mathbb C[T]$ contenant $\mathbb C, T^2, T^3$
a) On demande de démontrer que $\mathbb C[T^2, T^3]= \{a +T^2f(T)\mid a\in \mathbb C,\ f(T) \in C[T]\}$
Je pense que cela est faisable puisque tout élément de $\mathbb C[T^2, T^3]$ s'écrit comme $a+bT^2+cT^3$
Ai-je oublié de mentionner quelque chose ?
b) Je dois montrer que $T^2$ et $T^3$ sont irréductibles dans $\mathbb C[T^2, T^3]$.
c) En déduire que $\mathbb C[T^2, T^3]$ n'est pas factoriel.
Merci.
Soit $\mathbb C[T^2, T^3]$ le plus petit sous-anneau de $\mathbb C[T]$ contenant $\mathbb C, T^2, T^3$
a) On demande de démontrer que $\mathbb C[T^2, T^3]= \{a +T^2f(T)\mid a\in \mathbb C,\ f(T) \in C[T]\}$
Je pense que cela est faisable puisque tout élément de $\mathbb C[T^2, T^3]$ s'écrit comme $a+bT^2+cT^3$
Ai-je oublié de mentionner quelque chose ?
b) Je dois montrer que $T^2$ et $T^3$ sont irréductibles dans $\mathbb C[T^2, T^3]$.
c) En déduire que $\mathbb C[T^2, T^3]$ n'est pas factoriel.
Merci.
Réponses
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La question a) est fausse puisque le membre de droite est $\mathbb{C}[T]$ : je pense que tu as mal recopié.
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Une fois que tu auras corrigé l'énoncé, réfléchis au fait que $T^4=T^2\times T^2\in \mathbb C[T^2,T^3]$.
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J'avais mal recopié effectivement.
a) donc , c'est bon?
b) $T^2\neq 0$
$T^2\notin \mathbb C[T^2, T^3]^{\times}$
$T^3\notin \mathbb C[T^2, T^3]^{\times}$
La seule décomposition en produit de $T^2$ dans C[T^2, T^3] est $T^2 \times 1$ avec $1 \in C[T^2, T^3]^{\times}$
La seule décomposition en produit de $T^3$ dans C[T^2, T^3] est $T^3 \times 1$ avec $1 \in C[T^2, T^3]^{\times}$
Donc $T^2$ et $T^3$ irréductibles
bon?
c) Il faut prouver qu'il existe un élément de $C[T^2, T^3]$ qui n'a pas une décomposition unique en produit d'éléments irréductibles. Comment?
d) Soit $\phi : \mathbb C[x,y] \rightarrow \mathbb C(T]$
tel que $a(x,y) \rightarrow \phi(a(x,y))=a(T^3,T^2)$
On doit montrer que si $r(x,y)=f(y)+xg(y)\in \mathbb C[x,y]$ avec $f(y),g(y) \in \mathbb C[y]$ est un élément de $Ker \phi$ alors $r(x,y)=0$ -
a) L'énoncé est bon, il faudrait une preuve.
b) Tu reformules l'énoncé, il faudrait une preuve. L'argument « c'est la seule décomposition parce que je n'en vois pas d'autre » est évidemment insuffisant...
c) Regarde des monômes en $T$.
d) Eh bien, en avant ! (La première parenthèse à la place du crochet, c'est bien une faute de frappe ?) -
Si tu penses toujours que "tout élément de $\mathbb C[T^2,T^3]$ s'écrit comme $a+bT^2+cT^3$" avec $a,b,c$ des nombres complexes, alors tu as encore le doigt dans l'oeil jusqu'au coude.
N'as-tu pas lu mon message ci-dessus ? -
a) je pense qu'il faut raisonner avec les degrés. On ne peut pas avoir de monôme de degré $1$ car $\mathbb C, T^2, T^3$ engendrent $\mathbb C[T^2,T^3]$ tous les autres degrés sont possibles.
b) $T^2$ peut être décomposé en produit 2 polynôme de degré 1 ou un polynôme de degré 2 et un autre de degré 0. Le premier cas est impossible dans $\mathbb C[T^2,T^3]$
Le deuxième cas, nous amène à $(a +T^2 \times b)\times c = T^2$ avec $a,b,c \in \mathbb C $
soit $ac +bcT^2=T^2$ donc $ac=0$ et $bc=1$
Donc $a=0$ et $c,b$ sont inversibles.
$T^2$ est irréductible
On raisonne pareil avec $T^3$.
Est-ce mieux?
c) $T^6=T^3\times T^3=T^2\times T^2\times T^2$
Cela prouve que $\mathbb C[T^2,T^3]$ n'est pas factoriel
d)je pense avoir la solution
e) On doit montrer que $Ker \phi = (x^2-y^3)$, on doit utiliser la division euclidienne de $a(x,y) \in \mathbb C[y][x]$ par $x^2-y^3$ en justifiant que cela a un sens.
je ne vois pas. -
On avance ! On n'en est pas encore à une justification complète (à commencer par a) mais on avance !
-
a) Soit $P \in \mathbb C[T^2, T^3]$, soit $n=\deg(P)$.
Si $n \ge 2$, démontrons que l'on peut construire $Q \in \mathbb C[T^2, T^3]$ tel que $\deg(Q)=n+1$ à partir de $P$.
Si $n$ impair, alors $n =2k+1$ avec $k \in \mathbb N^*$
on pose alors $Q=P + (T^2)^{k+1}$ donc $\deg(Q)=2k+2=n+1$.
Si $n$ est pair, alors $n =2k$ avec $k \in \mathbb N^*$
on pose alors $Q=P + (T^2)^{k-1}\times T^3$ donc $\deg(Q)=2k+1=n+1$
Ainsi pour tout $n \ge 2$, il existe $P \in \mathbb C[T^2, T^3]$ tel que $\deg(P)=n$.
Si $n=1$, impossible car si P=T alors $P \notin C[T^2, T^3]$ car $\mathbb C[T^2, T^3]$ est le plus petit sous-anneau de $\mathbb C[T]$ contenant $\mathbb C, T^2, T^3$.
Si $n=0$, alors $P \in \mathbb C$.
Ainsi, tout polynôme de $\mathbb C[T^2, T^3]$ admet tout degré sauf 1.
Ainsi, $$\mathbb C[T^2, T^3]= \{a +T^2f(T)\mid a\in \mathbb C,\ f(T) \in C[T]\}$$ -
C'est confus, et ce n'est pas encore ça.
Tu peux :
1°) Montrer que, pour tout $n\geq 2$, $T^n\in \mathbb C[T^2,T^3]$.
2°) En déduire que $\{a +T^2f(T)\mid a\in \mathbb C,\ f(T) \in C[T]\}\subset \mathbb C[T^2, T^3]$.
3°) Démontrer (et pas seulement affirmer) qu'un polynôme de $C[T^2,T^3]$ ne contient pas de monôme $T$. -
Du point de vue sous-monoïdes de $\mathbb N$, on a l'égalité $2\mathbb N + 3 \mathbb N = \mathbb N \setminus \{1\}$
-
a) @GaBuZoMeu
Pour 1) On démontre par récurrence
Pour 2) on le déduit directement du 1)
Pour 3) On peut raisonner par l'absurde en supposant que $T \in \mathbb C[T^2, T^3]$ et dans ce cas $\mathbb C[T^2, T^3]=\mathbb C[T]$. L'incohérence serait dans le fait que $\mathbb C[T^2, T^3]$ est le plus petit sous-anneau de $\mathbb C[T]$ contenant $\mathbb C, T^2, T^3$. Mais comment le mettre en évidence ?
Je passe directement à la question e) car les autres semblent acquises pour moi
e) Soit $\phi : \mathbb C[x,y] \rightarrow \mathbb C(T]$, tel que $a(x,y) \mapsto \phi(a(x,y))=a(T^3,T^2)$.
On doit montrer que $\ker \phi = (x^2-y^3)$, on doit utiliser la division euclidienne de $a(x,y) \in \mathbb C[y][x]$ par $x^2-y^3$ en justifiant que cela a un sens.
Déjà est-ce que $\mathbb C[y][x]= \mathbb C[x,y] $ ? -
Bonjour,
On peut aussi établir que:
\[\lbrace a +T^2f(T) \mid a\in\mathbf C,\ f(T) \in C[T]\rbrace = \lbrace p\in\mathbf C[T]\mid p'(0)=0\rbrace\]
est un sous anneau de \(\mathbf C[T]\). -
$\def\N{\mathbb N}$
Ce que j'en dis : $(T^2)^i (T^3)^j = T^m$ avec $m = 2i + 3j$. Donc pour tout anneau commutatif $A$ :
$$
A[T^2, T^3] = \bigoplus_{m \in 2\N + 3\N} A\,T^m
$$
Ci-dessus, je vois que $(T^m)_{m \in 2\N + 3\N}$ est une $A$-base (monomiale) de $A[T^2,T^3]$. Il reste à déterminer ce qu'est le sous-monoïde $2\N + 3\N$ de $\N$; j'ai déjà dit combien cela faisait.
Et le jour où $T^2, T^3$ sera remplacé par (par exemple) $T^3, T^4, T^5$, eh bien, cela sera pareil :
$$
A[T^3, T^4, T^5] = \bigoplus_{m \in 3\N + 4\N + 5\N} A\,T^m
$$
Obtention d'une $A$-base (monomiale) de $A[T^3,T^4,T^5]$. Il reste juste à déterminer ce que vaut exactement $3\N + 4\N + 5\N$. -
Si $p$ est un polynôme $P(T) = a_0 + a_1 T + a_2 T^2 + \cdots + a_n T^n$, peux tu exprimer $P'(0)$ en fonction des $a_k$ ?
Qu'est ce qu'on en déduit sur $a_1$ si $P'(0) = 0$? -
a)
Pour :
$\lbrace a +T^2f(T) \mid a\in\mathbf C,\ f(T) \in C[T]\rbrace = \lbrace p\in\mathbf C[T]\mid p'(0)=0\rbrace$
Je n'avais pas vu effectivement, je suis d'accord. Mais je ne vois pas l'intérêt.
Sur le modèle de claude quitté :
Si $T \in \mathbb C[T^2, T^3]$ alors il existe $i,j \in \mathbb N$ tels que $T=T^2i\times T^3j=T^{2i+3j}$
On aurait alors $1=2i+3j$
Si $i=0$ et $j=0$ alors $2i+3j=0$
Si $i>0$ et $j>0$ alors $2i+3j\geq 2$
$1=2i+3j$ est impossible.
Donc $T \notin \mathbb C[T^2, T^3]$
e) D'après ce que j'ai compris, on a le droit de faire la division euclidienne de $a(x,y) \in \mathbb C[Y][X]$ par $x^2-y^3$ car le coefficient dominant est $1$ dans $\mathbb C[Y][X]$ et $1$ est inversible dans $\mathbb C[Y]$.
Ainsi, il existe $Q(x,y) \in \mathbb C[Y][X]$ et $R(x,y) \in \mathbb C[Y][X]$ tel que $a(x,y)=Q(x,y)\times (x^2-y^3) + R(x,y)$ avec $Deg_X(R)<2$.
Est-ce bon? mais pourquoi? -
e) D'après ce que j'ai compris, on a le droit de faire la division euclidienne de $a(x,y) \in \mathbb C[Y][X]$ par $x^2-y^3$ car le coefficient dominant est $1$ dans $\mathbb C[Y][X]$ et $1$ est inversible dans $\mathbb C[Y]$.
Mais pourquoi?
Ainsi, il existe $Q(x,y) \in \mathbb C[Y][X]$ et $R(x,y) \in \mathbb C[Y][X]$ tel que $a(x,y)=Q(x,y)\times (x^2-y^3) + R(x,y)$ avec $\deg_X(R)<2$.
Ainsi, il existe $f,g \in \mathbb C[Y]$ tel que $R(x,y)= xf(y)+g(y)$
Avec $\phi : \mathbb C[x,y] \rightarrow \mathbb C(T]$, tel que $a(x,y) \mapsto \phi(a(x,y))=a(T^3,T^2)$
Il faut montrer que $\ker \phi =(x^2 - y^3)$
Montrons que $(x^2 - y^3) \subset \ker \phi$
Soit $P \in (x^2 - y^3)$, il existe $Q \in C[y,x]$ tel que $P=Q \times (x^2 - y^3)$
$\phi (P)= Q (T^3,T^2) \times ((T^3)^2 - (T^2)^3)=Q (T^3,T^2) \times (T^6 - T^6) =Q (T^3,T^2) \times 0 =0$
Donc pour tout $P \in (x^2 - y^3)$, $P \in \ker \phi$
Donc $(x^2 - y^3) \subset \ker \phi$. -
e)
Montrons que $ \ker \phi \subset (x^2 - y^3) $
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