Groupe de valuation de $\overline{\Bbb Q_p}$
Bonsoir,
Si $p$ est un nombre premier, on sait qu'il existe une unique valuation qui étende la valuation $p$-adique de $\Bbb Q_p$ à sa clôture algébrique $\overline{\Bbb Q_p}$ (parce que $\Bbb Q_p$ est Hensélien).
Puisque $\overline{\Bbb Q_p}$ est algébriquement clos, on sait que son groupe de valuation est divisible : il contient donc $\Bbb Q$.
Toutefois, je me demande si on connaît (à isomorphisme près) le groupe de valuation de $\overline{\Bbb Q_p}$. Avez-vous une idée?
Merci d'avance.
Si $p$ est un nombre premier, on sait qu'il existe une unique valuation qui étende la valuation $p$-adique de $\Bbb Q_p$ à sa clôture algébrique $\overline{\Bbb Q_p}$ (parce que $\Bbb Q_p$ est Hensélien).
Puisque $\overline{\Bbb Q_p}$ est algébriquement clos, on sait que son groupe de valuation est divisible : il contient donc $\Bbb Q$.
Toutefois, je me demande si on connaît (à isomorphisme près) le groupe de valuation de $\overline{\Bbb Q_p}$. Avez-vous une idée?
Merci d'avance.
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Réponses
EDIT : n'importe quoi, $\mathbb Q_p$ a la puissance du continu.
Si $K$ est de caractéristique nulle, soit $x\in L$ algébrique sur $K$, $f\in K[X]$ son polynôme unitaire irréductible, quitte à étendre $L$ on peut supposer que $L$ est une extension normale. Soit $y$ une autre racine de $f$ et $g\in Gal(L/K)$ tel que $g(x)=y$. Alors comme $v \circ g=v$ (cf remarque sur l'unicité ci-dessus), on a $v(x)=v(y)$. Les racines $x_1,...,x_n$ de $f$
ont donc toutes la même valuation. Si $c=f(0)$, on a $c=(-1)^n \prod_{i=1}^n x_i$ et donc $v(x_i)= \frac{v(c)}{n}$ (edit: corrigé d'après la remarque de PB).
Ceci entraîne en particulier que l'ensemble $\{v(x)\mid x \in \overline {\Q_p}\} \subseteq \Q$. L'inclusion réciproque est évidente (cf polynômes de type $X^n-a$) et déjà évoquée plus haut.
J'ai une référence pour ce que tu énonces : le chapitre 1 de Valued fields de Engler et Prestel fait l'affaire.