Groupe de valuation de $\overline{\Bbb Q_p}$

On peut montrer que si $(K,v)$ est un corps valué complet (pour la métrique induite par la valuation) et si $L$ est une extension algébrique de $K$ alors il existe une unique valuation sur $L$ étendant celle de $K$.

Si $K$ est de caractéristique nulle, soit $x\in L$ algébrique sur $K$, $f\in K[X]$ son polynôme unitaire irréductible, quitte à étendre $L$ on peut supposer que $L$ est une extension normale. Soit $y$ une autre racine de $f$ et $g\in Gal(L/K)$ tel que $g(x)=y$. Alors comme $v \circ g=v$ (cf remarque sur l'unicité ci-dessus), on a $v(x)=v(y)$. Les racines $x_1,...,x_n$ de $f$
ont donc toutes la même valuation. Si $c=f(0)$, on a $c=(-1)^n \prod_{i=1}^n x_i$ et donc $v(x_i)= \frac{v(c)}{n}$ (edit: corrigé d'après la remarque de PB).

Ceci entraîne en particulier que l'ensemble $\{v(x)\mid x \in \overline {\Q_p}\} \subseteq \Q$. L'inclusion réciproque est évidente (cf polynômes de type $X^n-a$) et déjà évoquée plus haut.

C'est bien $v(x_i)=\frac{v(c)}{n}$ (?).

Poirot : $\mathbb{Q}_p$ est dénombrable ? Il me semblait au contraire que déjà $\mathbb{Z}_p$ avait la puissance du continu.. D'ailleurs en le voyant comme limite projective ça se démontre en remarquant que chaque projection $\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ a $p$ feuillets, donc on plonge $p^\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}_p$ si je ne me méprends pas

Gaussien: j'ai besoin que la valuation soit à valeurs réelles (pour induire une valeur absolue sur $K$; si cette valeur absolue est complète, $K$ va vérifier l'équivalence des normes en dimension finie, on peut en déduire l'unicité du prolongement d'une valuation sur toute extension finie puis sur toute extension algébrique. A vrai dire ces résultats sont plus faciles à prouver dans le cas particulier de $\Q_p$-la compacité de $\Z_p$ simplifiant la tâche).

NB: $\Q_p$ est un espace métrique complet sans points isolés et donc ne peut pas être dénombrable, par Baire.

Merci pour la référence!