Somme sigma

Les $ai$ et les $bi$ sont en fait des $a_i$ et des $b_i$, n'est-ce pas ?
Les données que tu as ne suffisent pas pour déterminer la somme que tu cherches.
En gros, tu connais la somme $\sum_{i=1}^na_i(b_i-c)=\sum_{i=1}^na_ib_i-c\sum_{i=1}^na_i=\theta-c$ et tu veux connaître la somme des inverses des $a_i(b_i-c)$. Pas possible.

Par exemple, prenons $n=3$, $c=0$, $a_1=a_2=a_3=\frac13$. On prend deux triplets $(b_1,b_2,b_3)=(1,2,3)$ et $(b'_1,b'_2,b'_3)=(2,2,2)$. On a la même valeur pour $\sum_{i=1}^3a_ib_i=2=\sum_{i=1}^3a_ib'_i$ mais la somme que tu cherches est différente dans les deux cas : $\frac13\times\frac11+\frac13\times\frac12+\frac13\times\frac13=\frac{11}{18}$ alors que $\frac13\times\frac12+\frac13\times\frac12+\frac13\times\frac12=\frac12$ : les sommes sont différentes.

Edit : plantage, ce qui est écrit est $\sum_{i=1}^3\frac{a_i}{b_i-c}$ au lieu de $\sum_{i=1}^3\frac{1}{a_i(b_i-c)}$. Les bons résultats sont $\frac{11}2$ et $\frac{9}{2}$.

Ce n'est pas un hasard que $\sum_{i=1}^3a_ib_i=\sum_{i=1}^3a_ib'_i$, les nombres ont été choisis pour cela. Mais évidemment cette somme n'est pas constante pour autant, comme tu l'as constaté avec ton exemple.

Comme tu l'as bien compris, je me suis trompé dans le deuxième calcul, j'ai calculé $\sum_{i=1}^3\frac{a_i}{b_i-c}$ au lieu de $\sum_{i=1}^3\frac{1}{a_i(b_i-c)}$. Le trait important est valable : les deux sommes sont différentes ($\frac{11}2$ et $\frac{9}{2}$).

Cela signifie que l'on ne peut pas exprimer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i(b_i-c)}$ en fonction de $\sum_{i=1}^na_ib_i$ : avec les deux jeux de données de l'exemple, les sommes $\sum_{i=1}^na_ib_i$ et $\sum_{i=1}^na_i$ sont les mêmes pour chaque jeu mais les sommes $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i(b_i-c)}$ sont différentes. Cela veut dire que les sommes données ne déterminent pas la somme mystérieuse.

Problème simplifié ($n=2$, $x_i=a_ib_i$, $c=0$, $\theta=10$) : sachant que la somme de deux réels non nuls $x_1$ et $x_2$ vaut $10$, peut-on déterminer $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ ? Non puisque si par exemple $x_1=x_2=5$, alors $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2}{5}$ alors que si $x_1=1$ et $x_2=9$, alors $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{10}{9}$ et bien sûr, $\frac{10}9\ne\frac{2}5$.