Déformation d'un groupe en représentation

Sylvain
Sylvain
dans Algèbre
Bonjour,

J'aimerais savoir s'il existe dans la littérature une notion de déformation $ Def_{G,V_{G}} $ d'un groupe $ G $ en "sa" représentation $ V_{G} $ vérifiant les propriétés suivantes :

- $ Def_{G,V_{G}} $ est une fonction de $[0,1] $ dans un espace d'objets à définir $ M $ telle que :

- $ Def_{G,V_{G}}(0)=G $

- $ Def_{G,V_{G}}(1)=V_{G}$

- pour tout $(t,t') $ tel que $t<t' $ il existe un homorphisme injectif $ h_{t,t'} $ de $ Def_{G,V_{G}}(t) $ dans le groupe des automorphismes de $ Def_{G,V_{G}}(t') $

- $ M $ peut être muni d'une structure de variété riemanienne dont une géodésique est l'image de $ [0,1] $ par $ Def_{G,V_{G}} $ .

Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Bonjour Sylvain. C'est quoi $V_G$ ?
  • Lupulus
    Lupulus
    Poirot : si on te dit que $V_G$ est la représentation régulière de $G$ vois tu comment donner du sens à cette question ?
  • Poirot
    Poirot
    Absolument pas, mais j'aurais aimé que Sylvain précise ce qu'il voulait dire. Je ne suis même pas sûr qu'il le sache vraiment comme souvent.
  • Lupulus
    Lupulus
    Ok, je pense la même chose que toi ...
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Quelques remarques :

    1. On ne sait pas ce qu'est $V_G$.

    Supposons momentanément qu'il s'agit d'une représentation bien identifiée.

    2. L'image de l'application $Def_{G,V_G}$ est contenue dans un ensemble $M$ à définir.

    D'après ce que je lis, ce $M$ doit être tel que quand on a $t,t'$ dans $[0,1]$ avec $t<t'$,

    a) on doit avoir une structure algébrique sur $Def_{G,V_G}(t)$ pour qu'il existe un morphisme entre lui et un certain groupe.

    b) on doit pouvoir donner un sens à l'expression "groupe d'automorphismes de $Def_{G,V_G}(t')$"

    c) on doit avoir le groupe $G$ et la représentation $V_G$ dans $M$

    d) on doit pouvoir mettre une structure de variété sur $M$

    Sylvain, un groupe et une de ses représentations sont des objets de nature assez différente (le deuxième étant un couple (espace vectoriel, morphisme de groupes), le choix du corps sous-jacent étant par ailleurs un paramètre important). Ainsi vouloir déformer un groupe en une de ses représentations, je trouve ça étrange. Déjà, les mettre sans artifice dans un même ensemble ne me paraît pas d'emblée légitime.

    J'ai déjà entendu parler de déformations de représentations. Les déformations se faisaient sur les générateurs et les relations.
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    Qu'il est regrettable, quand des personnes de bonne volonté ont pris le temps de répondre, de ne pas avoir de réaction de la personne qui a initié le fil. C'est au mieux un manque de politesse.
  • Sylvain
    Sylvain
    Je ne suis pas tout le temps sur le forum...je pense quand même que vous avez compris l'idée générale non ? Il s'agit de voir le morphisme $ h $ de $ G $ dans $ Aut(V_{G}) $ comme un chemin dont les extrémités sont $ G $ et $ Aut(V_{G}) $ où $ V_{G} $ est telle que ce morphisme est injectif.
  • Poirot
    Poirot
    Tu es quand même intervenu plusieurs fois sur le forum entre-temps.
  • Lupulus
    Lupulus
    Magnéthorax : Tu fais peut-être allusion aux groupes quantiques de type Drinfeld–Jimbo ? Ces déformations sont très étudiées et sont particulièrement intéressantes si $q$ est une racine de l'unité.

    Sylvain : Est-ce que tu as un exemple ou une application potentielle ?
  • Sylvain
    Sylvain
    @Poirot : je dois avouer à ma grande honte avoir un peu oublié cette question.

    @Lupulus : non, je n'ai pas d'exemple ni d'application. C'est juste une question que je me suis posée comme ça.
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