Déformation d'un groupe en représentation
Bonjour,
J'aimerais savoir s'il existe dans la littérature une notion de déformation $ Def_{G,V_{G}} $ d'un groupe $ G $ en "sa" représentation $ V_{G} $ vérifiant les propriétés suivantes :
- $ Def_{G,V_{G}} $ est une fonction de $[0,1] $ dans un espace d'objets à définir $ M $ telle que :
- $ Def_{G,V_{G}}(0)=G $
- $ Def_{G,V_{G}}(1)=V_{G}$
- pour tout $(t,t') $ tel que $t<t' $ il existe un homorphisme injectif $ h_{t,t'} $ de $ Def_{G,V_{G}}(t) $ dans le groupe des automorphismes de $ Def_{G,V_{G}}(t') $
- $ M $ peut être muni d'une structure de variété riemanienne dont une géodésique est l'image de $ [0,1] $ par $ Def_{G,V_{G}} $ .
Merci d'avance.
J'aimerais savoir s'il existe dans la littérature une notion de déformation $ Def_{G,V_{G}} $ d'un groupe $ G $ en "sa" représentation $ V_{G} $ vérifiant les propriétés suivantes :
- $ Def_{G,V_{G}} $ est une fonction de $[0,1] $ dans un espace d'objets à définir $ M $ telle que :
- $ Def_{G,V_{G}}(0)=G $
- $ Def_{G,V_{G}}(1)=V_{G}$
- pour tout $(t,t') $ tel que $t<t' $ il existe un homorphisme injectif $ h_{t,t'} $ de $ Def_{G,V_{G}}(t) $ dans le groupe des automorphismes de $ Def_{G,V_{G}}(t') $
- $ M $ peut être muni d'une structure de variété riemanienne dont une géodésique est l'image de $ [0,1] $ par $ Def_{G,V_{G}} $ .
Merci d'avance.
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Réponses
1. On ne sait pas ce qu'est $V_G$.
Supposons momentanément qu'il s'agit d'une représentation bien identifiée.
2. L'image de l'application $Def_{G,V_G}$ est contenue dans un ensemble $M$ à définir.
D'après ce que je lis, ce $M$ doit être tel que quand on a $t,t'$ dans $[0,1]$ avec $t<t'$,
a) on doit avoir une structure algébrique sur $Def_{G,V_G}(t)$ pour qu'il existe un morphisme entre lui et un certain groupe.
b) on doit pouvoir donner un sens à l'expression "groupe d'automorphismes de $Def_{G,V_G}(t')$"
c) on doit avoir le groupe $G$ et la représentation $V_G$ dans $M$
d) on doit pouvoir mettre une structure de variété sur $M$
Sylvain, un groupe et une de ses représentations sont des objets de nature assez différente (le deuxième étant un couple (espace vectoriel, morphisme de groupes), le choix du corps sous-jacent étant par ailleurs un paramètre important). Ainsi vouloir déformer un groupe en une de ses représentations, je trouve ça étrange. Déjà, les mettre sans artifice dans un même ensemble ne me paraît pas d'emblée légitime.
J'ai déjà entendu parler de déformations de représentations. Les déformations se faisaient sur les générateurs et les relations.
Sylvain : Est-ce que tu as un exemple ou une application potentielle ?
@Lupulus : non, je n'ai pas d'exemple ni d'application. C'est juste une question que je me suis posée comme ça.