factorisation de polynôme homogène
bonsoir,
Il est clair que si Q et R désignent deux polynômes en plusieurs indéterminées homogènes à coefficients sur un corps par exemple, leur produit est encore homogène mais la réciproque est-elle vraie ?
Je répondrais naïvement "oui" (c'est vrai en une indéterminée) et il me semble bien avoir vu jadis une démonstration de ce résultat mais je ne parviens pas à remettre la main dessus.
je souhaiterais une confirmation de la validité ce résultat et éventuellement une indication de preuve ou une indication bibliographique.
Amicalement
Il est clair que si Q et R désignent deux polynômes en plusieurs indéterminées homogènes à coefficients sur un corps par exemple, leur produit est encore homogène mais la réciproque est-elle vraie ?
Je répondrais naïvement "oui" (c'est vrai en une indéterminée) et il me semble bien avoir vu jadis une démonstration de ce résultat mais je ne parviens pas à remettre la main dessus.
je souhaiterais une confirmation de la validité ce résultat et éventuellement une indication de preuve ou une indication bibliographique.
Amicalement
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Réponses
Si $P=QR$ tu peux regarder ce qui se passe pour le degré de $P$ en fonction de ceux de $Q$ et $R$, et même chose pour la valuation (ou ordre, c.-à-d. le minimum des degrés des monômes qui apparaissent).
$$
Q = Q_d + Q_{d-1} + \cdots, \qquad R = R_e + R_{e-1} + \cdots, \qquad Q_d \ne 0, \quad R_e \ne 0
$$
Tu fais le produit et tu regardes la composante homogène de degré $d+e$ d'un côté et de l'autre. Tu réfléchis un peu et je suis persuadé que tu vas y arriver (rappel : mettre de l'intégrité dans le moteur .. why ??)
Je vous remercie tous