Isomorphisme d'anneaux

Il y a un tout petit truc de syntaxe qui pose problème : pour les entiers de Gauss, la séquence « crochet ouvrant + i + crochet fermant » est interprétée comme le début d'une section en italique. Il faut insérer une espace avant ou après le « i ».

math65 a écrit:

Je dois montrer que $ \frac{\mathbb Z[ i] }{(1+3i)}\approx \frac{\mathbb Z}{10 \mathbb Z}$

Je définis le morphisme $\phi : \mathbb Z[ i]\rightarrow \frac{\mathbb Z}{10 \mathbb Z}$ par $z\mapsto \overline {z \overline{z}}$.
Je prouve alors que $\phi$ est bien un morphisme surjectif et que $Ker \phi = (1+3i)$

Je pense savoir montrer que $\phi$ est surjectif.

1)J'ai du mal à montrer que $Ker \phi \subset(1+3i)$ :

Soit $z \in Ker \phi$, $\overline {z\overline{z}}=0$ donc il existe $k \in \mathbb N$
tel que $z \overline{z}=10k$
$z=a+ib$ avec $a,b \in \mathbb Z$
$a^2+b^2=10k$

je dois montrer que $z=z'\times (1+3i)$ avec $z'\in \mathbb Z[ i] $

2) $\phi$ est-il réellement un morphisme d'anneaux ou de groupe ?

Un truc avec un produit de $z$ et de $\bar{z}$, ça a une chance d'être linéaire ?

À défaut d'une aide conceptuelle, voici un dessin :

• $1+3\mathrm{i}$ et l'idéal qu'il engendre, représenté par les points noirs (pourquoi forment-ils ce réseau carré ?) ;
• en rose, un « domaine fondamental » : un carré dont les translatés par un vecteur du réseau recouvrent le plan (pourquoi ?) ;
• en bleu, un sommet et les points intérieurs au carré : pourquoi forment-ils un système de représentants du quotient que tu cherches ? Es-tu surpris qu'il y en ait $10$ ?

Salut,

Peut-être qu'on peut regarder : $\Z[ i ] \to \Z/10\Z$ donné par $a+ib \mapsto a+3b \pmod{10}$.

On a pour $k \in \Z$.
$$
a+i(3a+10k) = a(1+3i) + i(1+3i)(1-3i)k \in (1+3i) \Z[ i]
$$

Faut vérifier des petits trucs certainement, sans garantie !

Il ne faut pas choisir « un autre morphisme », il faut choisir un morphisme tout court. L'application qui à $z\in\Z[\mathrm{i}]$ associe la classe de $z\bar z$ modulo $10$ n'est pas un morphisme de groupes (par exemple, l'image de $-1$ n'est pas l'opposée de l'image de $1$) ni (donc) d'anneaux.

Rappel : un morphisme de $\Z[\mathrm{i}]/(1+3\mathrm{i})$ vers $\Z/10\Z$, c'est pareil qu'un morphisme de $\Z[\mathrm{i}]$ vers $\Z/10\Z$ dont le noyau contient l'idéal $(1+3\mathrm{i})$.

Il faut envoyer $0$ sur $\bar0\in\Z/10\Z$ et $1$ sur $\bar1$. Donc $2$ sur $\bar2$, $3$ sur $\bar3$. Et $4$ ? Sur $\bar4$ évidemment. Ce qui est intéressant, c'est de remarquer que $4$ est dans le carré voisin de $1$, $2$ et $3$. Sa place dans son carré est la même que celle de $1+\mathrm{i}$ dans le carré précédent. C'est une façon de voir la relation : $4=1+\mathrm{i}+(-3+\mathrm{i})=(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(1+3\mathrm{i})$. Pour pouvoir quotienter par l'idéal $(1+3\mathrm{i})$, les images de $4$ et de $1+\mathrm{i}$ doivent donc être égales, ce qui force à envoyer $\mathrm{i}=4-1+\mathrm{i}(1+3\mathrm{i})$ sur $\bar4-\bar1=\bar3$.

Morale : le seul morphisme de $\Z[\mathrm{i}]$ vers $\Z/10\Z$ envoie $1$ sur $\bar1$ et $\mathrm{i}$ sur $\bar3$ et donc $a+b\mathrm{i}$ sur $a+3b$, comme prédit par moduloP.

Reste à vérifier que cela définit vraiment un morphisme. Le fait que $\bar3^2=-\bar1$ est rassurant. Dernière remarque : le nombre de points de $\Z/(1+3\mathrm{i})$ est la norme du générateur : $10=(1+3\mathrm{i})\overline{(1+3\mathrm{i})}$ et apparemment, ce n'est pas un hasard.

@Mathcoss : Juste pour compléter, en fait, la donnée d'un morphisme de $\Z[ i] /(1+3i) \to R$ est équivalente à la donné d'un élément $\eta$ de $R$ vérifiant : $\eta^2 = -1$ et $1+3\eta = 0$. Du coup, il y a juste à résoudre $1+3 \eta = 0$ dans l'anneau $R$. Mais comme $3 \eta = -1$ et $\eta^2=-1$ on obtient : $3 \eta^2 = - \eta$ et donc $\eta = 3$.

Et donc, un tel morphisme existe si et seulement si $9^2 = -1$ i.e $10 = 0$ dans $R$. Et dans ce cas, le morphisme en question est unique et et donné par $a+ib \mapsto a + 3b$.

Sinon, on fait comme GBZM, et on voit encore mieux que $i=3$.

Salut,

Tu n'as pas vérifié qu'il s'agit d'un morphisme d'anneau.