Valeurs propres
Bonjour
Soit $\nu>0$ un paramètre, on considère la matrice $M=\begin{pmatrix}
0&-\sqrt{\nu}\\\sqrt{\nu}&1
\end{pmatrix}$ et les matrices de [large]P[/large]auli $$
\textbf{k}=\begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}
,\quad \textbf{j}=\begin{pmatrix}
0&i\\-i&0
\end{pmatrix}
,\quad \textbf{i}=\begin{pmatrix}
-1&0\\0&1
\end{pmatrix}
$$ Y a-t-il une méthode de calcul des valeurs propres de $(e^{tM})^*e^{tM}$ pour tout $t>0$ en utilisant ces matrices ?
Merci.
[Wolfgang Pauli (1900-1958) prend toujours une majuscule. AD]
Soit $\nu>0$ un paramètre, on considère la matrice $M=\begin{pmatrix}
0&-\sqrt{\nu}\\\sqrt{\nu}&1
\end{pmatrix}$ et les matrices de [large]P[/large]auli $$
\textbf{k}=\begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}
,\quad \textbf{j}=\begin{pmatrix}
0&i\\-i&0
\end{pmatrix}
,\quad \textbf{i}=\begin{pmatrix}
-1&0\\0&1
\end{pmatrix}
$$ Y a-t-il une méthode de calcul des valeurs propres de $(e^{tM})^*e^{tM}$ pour tout $t>0$ en utilisant ces matrices ?
Merci.
[Wolfgang Pauli (1900-1958) prend toujours une majuscule. AD]
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
M=\frac{1}{2}\text{Id}+\frac12\textbf{i}+i\sqrt{\nu}\,\textbf{j}$$
$$e^{tM}=e^{\frac{t}{2}}\Big(\cos(\frac{t}{2}\sqrt{4\nu-1})+2\frac{\sin(\frac{t}{2}\sqrt{4\nu-1})}{\sqrt{4\nu-1}}(\frac{1}{2}\textbf{i}+i\sqrt{\nu}\textbf{j})\Big)$$
et $$(e^{tM})^*(e^{tM})=e^{t}\Big(1+2\sin^2(\frac{t}{2}\sqrt{4\nu-1})+\frac{\sin(t\sqrt{4\nu-1})}{\sqrt{4\nu-1}}\textbf{i}+4\frac{\sqrt{\nu}}{4\nu-1}\sin^2(\frac{t}{2}\sqrt{4\nu-1})\textbf{k}\Big)$$
Y a-t-il quelqu'un qui peut me vérifier ce résultat? Merci en avance.