Polynômes échelonnés

Il faut faire attention, car c'est des inégalités strictes et pas larges !

Sinon, je ne comprends pas tout de ton message mais la dérivation est souvent un bon outil.

ex :

si $a(x+3)+ b( x^2+7x+3) = 0$ alors en dérivant deux fois tu obtient : $b = 0$ et ensuite si $b = 0$ on a $a=0$.

Tu peux chercher la "matrice de passage" de la base canonique dans ta nouvelle "base". En constatant que celle-ci est inversible, tu obtiens immédiatement qu'il s'agit bien d'une base.

La dérivation consiste à dériver un polynôme, mais je ne suis pas certain que c'est vraiment le mot consiste que tu voulais utiliser ou alors c'est moi qui ne comprends pas le mot consiste :-S

Salut,

on parle de polynômes $P_0, P_1, ..., P_n$ échelonnés en degré lorsque les degrés de cette famille de polynômes sont échelonnés de façon stricte. Autrement dit, quitte à renuméroter : $deg \, P_0 = 0$, $deg \, P_1 = 1$, ..., $deg \, P_n = n$. Avec des inégalités larges, tu as peu de chances d'avoir une famille libre.
[edit : grillé par moduloP]

Pour le démontrer, on peut procéder ainsi :
soit $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{K}$ non tous nuls tels que $\displaystyle{\sum_{i=0}^n \lambda_i P_i = 0}$ $(*)$.
Je note $Q$ ce polynôme.
Le coefficient dominant de $Q$ est $\lambda_n \times p_{n,n}$ où $p_ {n,n}$ est le coefficient dominant de $P_ n$.
La relation $(*)$ implique que $\lambda_n \times p_{n,n} = 0$, d'où $\lambda_n = 0$ (puisque $deg \, P_n = n$, nécessairement $p_{n,n} \neq 0$).
On poursuit le raisonnement et on cueille successivement $\lambda_{n-1} = 0$, $\lambda_{n-2}=0$, ... $\lambda_0=0$.

m.

On devrait faire payer les corrections d'exercices :-D

Est-ce qu'on a le droit ou pas ?

Steh_ntic,

soit tu n'as pas fait d'algèbre linéaire, et alors c'est idiot de faire cet exercice, soit tu en as fait, tu sais ce que c'est qu'une base, et tu ne peux pas écrire "tout polynôme à degré échelonnés est une base de Kn[X]". Pas si tu es sérieux et si tu sais quel est l'espace vectoriel en cause. A ce niveau d'incompétence, ce n'est pas une explication dont tu as besoin, mais de te donner toi-même des coups de pied au c.. pour te forcer à penser à l'énoncé et à écrire correctement (*).
Si certaines choses ne sont pas encore à ta portée, il faut les apprendre (apprendre les définitions, étudier les théorèmes pour comprendre les démonstrations, éventuellement faire des exercices sur ce que tu sais bien). la technique "je copie des corrigés d'exercices" ne sert à rien si on ne les comprend pas vraiment, si on n'a pas les connaissances (définitions, théorèmes, expressions classiques, ...) pour comprendre. Au mieux on fera des imitations, mais pas des maths.
Et on peut comprendre seul, je l'ai fait sur de nombreuses matières, y compris l'algèbre linéaire. Parfois on bloque, et une explication est nécessaire, mais rarement sur un exercice (j'en ai toujours fait très peu), plus souvent sur le cours. Une fois le cours vraiment compris, la plupart des exercices sont très faciles (c'est pourquoi en première année de fac, je sortais au bout d'une heure et demie pour des examens en 3 heures : j'avais fini - J'avais revu en cours ce que j'avais étudié seul l'année d'avant !).

Bon travail d'apprentissage des bases du cours et du vocabulaire associé !

(*) à ce propos, ton français est assez lamentable ("en mon égare", "pas encore à porter", ..), j'imagine que le français n'est pas ta langue maternelle.